不等式的教案

时间：2024-09-03 07:18:58 教案我要投稿

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不等式的教案

　　作为一名辛苦耕耘的教育工作者，总归要编写教案，借助教案可以有效提升自己的教学能力。那么什么样的教案才是好的呢？以下是小编收集整理的不等式的教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

不等式的教案

不等式的教案1

　　第四课时

　　教学目标

　　1、掌握分析法证明不等式；

　　2、理解分析法实质——执果索因；

　　3、提高证明不等式证法灵活性、

　　教学重点分析法

　　教学难点分析法实质的理解

　　教学方法启发引导式

　　教学活动

　　（一）导入新课

　　（教师活动）教师提出问题，待学生回答和思考后点评、

　　（学生活动）回答和思考教师提出的问题、

　　［问题1］我们已经学习了哪几种不等式的证明方法？什么是比较法？什么是综合法？

　　［问题2］能否用比较法或综合法证明不等式：

　　[点评]在证明不等式时，若用比较法或综合法难以下手时，可采用另一种证明方法：分析法、（板书课题）

　　设计意图：复习已学证明不等式的方法、指出用比较法和综合法证明不等式的不足之处，激发学生学习新的证明不等式知识的积极性，导入本节课学习内容：用分析法证明不等式、

　　（二）新课讲授

　　【尝试探索、建立新知】

　　（教师活动）教师讲解综合法证明不等式的逻辑关系，然后提出问题供学生研究，并点评、帮助学生建立分析法证明不等式的知识体系、投影分析法证明不等式的概念、

　　（学生活动）与教师一道分析综合法的逻辑关系，在教师启发、引导下尝试探索，构建新知、

　　[讲解]综合法证明不等式的逻辑关系：以已知条件中的不等式或基本不等式作为结论，逐步寻找它成立的必要条件，直到必要条件就是要证明的不等式、

　　［问题1］我们能不能用同样的思考问题的方式，把要证明的不等式作为结论，逐步去寻找它成立的充分条件呢？

　　［问题2］当我们寻找的充分条件已经是成立的不等式时，说明了什么呢？

　　［问题3］说明要证明的不等式成立的理由是什么呢？

　　［点评］从要证明的结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到充分条件显然成立为止，从而得出要证明的结论成立、就是分析法的逻辑关系、

　　[投影]分析法证明不等式的概念、（见课本）

　　设计意图：对比综合法的逻辑关系，教师层层设置问题，激发学生积极思考、研究、建立新的知识；分析法证明不等式、培养学习创新意识、

　　【例题示范、学会应用】

　　（教师活动）教师板书或投影例题，引导学生研究问题，构思证题方法，学会用分析法证明不等式，并点评用分析法证明不等式必须注意的问题、

　　（学生活动）学生在教师引导下，研究问题，与教师一道完成问题的论证、

　　例1求证

　　[分析］此题用比较法和综合法都很难入手，应考虑用分析法、

　　证明：（见课本）

　　[点评]证明某些含有根式的不等式时，用综合法比较困难、此例中，我们很难想到从“ ”入手，因此，在不等式的证明中，分析法占有重要的位置，我们常用分析法探索证明途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要思维方法，事实上，有些综合法的表述正是建立在分析法思索的基础上，分析法的优越性正体现在此、

　　例2已知：，求证：（用分析法）请思考下列证法有没有错误？若有错误，错在何处？

　　［投影］证法一：因为，所以、去分母，化为，就是、由已知成立，所以求证的不等式成立、

　　证法二：欲证，因为

　　只需证，即证，即证

　　因为成立，所以成立、

　　（证法二正确，证法一错误、错误的原因是：虽然是从结论出发，但不是逐步逆战结论成立的充分条件，事实上找到明显成立的不等式是结论的必要条件，所以不符合分析法的逻辑原理，犯了逻辑上的错误、）

　　[点评]①用分析法证明不等式的逻辑关系是：

　　（结论）（步步寻找不等式成立的充分条件）（结论）

　　分析法是“执果索因”，它与综合法的证明过程（由因导果）恰恰相反、②用分析法证明时要注意书写格式、分析法论证“若A则B”这个命题的书写格式是：

　　要证命题B为真，只需证明为真，从而有……

　　这只需证明为真，从而又有……

　　……

　　这只需证明A为真、

　　而已知A为真，故命题B必为真、

　　要理解上述格式中蕴含的逻辑关系、

　　[投影]例3证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面（指横截面，下同）的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大、

　　［分析］设未知数，列方程，因为当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为，则周长为的圆的半径为，截面积为；周长为的正方形边长为，截面积为，所以本题只需证明：

　　证明：（见课本）

　　设计意图：理解分析法与综合法的内在联系，说明分析法在证明不等式中的重要地位、掌

　　握分析法证明不等式，特别重视分析法证题格式及格式中蕴含的逻辑关系、灵活掌握分析法的应用，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力、

　　【课堂练习】

　　（教师活动）打出字幕（练习），请甲、乙两位同学板演，巡视学生的解题情况，对正确的'证法给予肯定，对偏差及时纠正、点评练习中存在的问题、

　　（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演、

　　【字幕】练习1、求证

　　2、求证：

　　设计意图：掌握用分析法证明不等式，反馈课堂效果，调节课堂教学、

　　【分析归纳、小结解法】

　　（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小给用分析法证明不等式的解题方法、

　　（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记、

　　1、分析法是证明不等式的一种常用基本方法、当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效的

　　2、用分析法证明不等式时，要正确运用不等式的性质逆找充分条件，注意分析法的证题格式、

　　设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，掌握分析法证明不等式的方法、

　　（三）小结

　　（教师活动）教师小结本节课所学的知识、

　　（学生活动）与教师一道小结，并记录笔记、

　　本节课主要学习了用分析法证明不等式、应用分析法证明不等式时，掌握一些常用技巧：

　　通分、约分、多项式乘法、因式分解、去分母，两边乘方、开方等、在使用这些技巧变形时，要注意遵循不等式的性质、另外还要适当掌握指数、对数的性质、三角公式在逆推中的灵活运用、理解分析法和综合法是对立统一的两个方面、有时可以用分析法思索，而用综合法书写证明，或者分析法、综合法相结合，共同完成证明过程、

　　设计意图：培养学生对所学知识进行概括归纳的能力，巩固所学知识、

　　（四）布置作业

　　1、课本作业：P17 4、5、

　　2、思考题：若，求证

　　3、研究性题：已知函数，若、，且证明

　　设计意图：思考题供学有余力同学练习，研究性题供学生研究分析法证明有关问题、

　　（五）课后点评

　　教学过程是不断发现问题、解决问题的思维过程、本节课在形成分析法证明不等式认知结构中，教师提出问题或引导学生发现问题，然后开拓学生思路，启迪学生智慧，求得问题解决、一个问题解决后，及时地提出新问题，提高学生的思维层次，逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生的思维步步引向深入，直到完成本节课的教学任务、总之，本节课的教学安排是让学生的思维由问题开始，到问题深化，始终处于积极主动状态、

　　本节课练中有讲，讲中有练，讲练结合、在讲与练的互相作用下，使学生的思维逐步深化、教师提出的问题和例题，先由学生自己研究，然后教师分析与概括、在教师讲解中，又不断让学生练习，力求在练习中加深理解，尽量改变课堂上教师包括办代替的做法、

　　在安排本节课教学内容时，按认识规律，由浅入深，由易及难，逐渐展开教学内容，让学生形成有序的知识结构、

　　作业答案：

　　思考题：

　　因为，故，所以成立、

　　研究性题：令，则：

　　故原不等式等价于

　　由已知有、。所以上式等价于，即。所以又等价于、因为，上式成立，所以原不等式成立。

　　不等式的实际解释

　　题目：不等式：是正数，且，则。可以给出一个具有实际背景的解释：在溶液里加溶质则浓度增加，即个单位溶液中含有个单位的溶质，其浓度小于加入个单位溶质后的溶液浓度，请你仿照此例，给出两个不等式的解释。

　　分析与解

　　1、先看问题中的不等式，建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好。我们知道如果同时增加相等的窗户面积和地板面积，那么住宅的条件变好。

　　设地板面积为平方米，窗户面积为平方米，若窗户面积和地板面积同时增加相等的平方米，住宅的采光条件变好了，即有

　　2、是正数，不等式可以推出，我们可以用混合溶液来解释：两个不同浓度的溶液混合后，其浓度介于混合前两溶液浓度之间。

　　3、电阻串并联。电阻值为、的电阻，串联电阻为，并联电阻为，串联电阻变大，并联电阻变小，因此有不等式，即

　　说明许多数学结论是由实际问题抽象为数学问题后，通过数学的运算演变得到的。反过来，把抽象的数学结论还原为实际解释也是一种数学运用，值得大家关注。

不等式的教案2

　　教学目标

　　1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

　　2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

　　3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

　　教学重难点

　　1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);

　　2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

　　教学过程

　　一、创设情景，提出问题;

　　设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实.基于此,设置如下情境:

　　上图是在北京召开的'第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

　　[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?

　　本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式

　　在此基础上，引导学生认识基本不等式。

　　三、理解升华：

　　1、文字语言叙述：

　　两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

　　2、联想数列的知识理解基本不等式

　　已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系?

　　两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

　　3、符号语言叙述：

　　4、探究基本不等式证明方法：

　　[问]如何证明基本不等式?

　　(意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。)

　　方法一：作差比较或由

　　展开证明。

　　方法二：分析法(完成课本填空)

　　设计依据：课本是学生了解世界的窗口和工具，所以，课本必须成为学生赖以学会学习的文本.在教学中要让学生学会认真看书、用心思考，养成讲讲议议、

　　动手动笔、仔细观察、用心体会的好习惯，真正学会读“数学书”。

　　点评：证明方法叫做分析法,实际上是寻找结论的充分条件,执果索因的一种思维方法.

　　5、探究基本不等式的几何意义：

　　借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生

　　几何解释实质可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦(直径是最长的弦);或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。

　　四、探究归纳

　　下列命题中正确的是

　　结论：

　　若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值;

　　若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。

　　简记为：“一正、二定、三相等”。

　　五、领悟练习：

　　公式应用之二：(最优化问题)

　　设计意图：新颖有趣、简单易懂、贴近生活的问题,不仅极大地增强学生的兴趣，拓宽学生的视野，更重要的是调动学生探究钻研的兴趣，引导学生加强对生活的关注，让学生体会：数学就在我们身边的生活中

　　(1)在学农期间，生态园中有一块面积为100m2的矩形茶地，为了保护茶叶的健康生长，学校决定用篱笆围起来，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少?

　　(2)现在学校仓库有一段长为36m的篱笆，要围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少?

　　六、反思总结，整合新知：

　　通过本节课的学习你有什么收获?取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要

　　请教?

　　设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力;帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平.

　　老师根据情况完善如下：

　　两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。

　　三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”

不等式的教案3

　　教学目标

　　1．使学生知道一元一次不等式组及其解集的含义，会利用数轴求一元一次不等式组的解集；

　　2．使学生逐步学会用数形结合的观点去分析问题、解决问题．教学重点和难点

　　重点：掌握一元一次不等式组解集的含义．难点：求不等式组中各不等式的解集的公共部分．课堂教学过程设计

　　一、从学生原有的认知结构提出问题

　　1．什么叫不等式？不等式的解？不等式的解集？解不等式？

　　3．将第2题中的不等号改为等号所得的一元一次方程的解是什么？不等式的解集与方程的解有什么不同？

　　4．(投影)在数轴上表示下列不等式的解集：

　　(1)x＞2；(2)x＜-1；(3)x≥2；(4)x≤-2；(5)1＜x＜3；(6)-3≤x＜0

　　5．(投影)将下列各图中数轴上的点的集合用不等式来表示．(学生口答完成)

　　在学生解答完上述各题的基础上，教师指出，我们知道，物体A的'重量x克大于2克，且小于3克，就是说，x的取值要使不等式x＞2与x＜3同时成立．

　　而将一元一次不等式x＞2与x＜3合在一起，就组成了一个一元一次不等式组，记作本节课，我们就来学习一元一次不等式组及其解法．

　　二、讲授新课1．利用数轴的直观性，师生共同得出一元一次不等式组解集的概念首先，在数轴上表示不等式①，②的解集，如下图．

　　其次，可向学生提出如下问题：

　　(1)通过观察，要使不等式①，②同时成立，则x的取值范围是什么？(2)这个取值范围，是不等式①，②的解集的什么？进一步追问，什么叫一元一次不等式组的解集？

　　最后，板书一元一次不等式组的解集的定义．

　　一般地，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集．

　　求不等式组的解集的过程，叫解不等式组．

　　例1(1)在同一数轴上表示x＜2，x＞-3的解集．(2)在同一数轴上表示x＞-4，x＞-1的解集．(3)在同一数轴上表示x＜2，x＜-3的解集．(4)在同一数轴上表示x＞2，x＜-1的解集．

　　若上述各题中的解集有公共部分，用不等式表示出来．(此题可由学生板演来完成)．解：

　　此时，教师指出：由上例可以看出，由不等式x＞-3或x＜2合在

　　类似的，上例中

　　练习

　　解不等式组：

　　(本练习，应继续巩固学生利用数轴的直观性解不等式组的能力)2．启发学生总结解一元一次不等式组的方法及步骤例2解不等式组：

　　师生共同分析：我们知道，解不等式组就是求不等式组解集的过程．那么如何求不等式组的解集呢？(让学生想一想，然后请几名学生回答)应首先求出不等式①和②的解集，然后利用数轴找出这两个解集的公共部分，就是不等式组的解集．

　　解：解不等式①，得x＞2，解不等式②，得x＞3，在数轴上表示不等式①，②的解集．

　　所以这个不等式组的解集是x＞3．

　　(首先让两名学生分别解出不等式①，②然后回答不等式组解集．教师板书解答过程，并用彩笔在数轴上把相应的部分描述出来，以使学生感到醒目，加深理解记忆)例3解不等式组：

　　解：解不等式①，得x＜3，在数轴上表示为

　　(本题让一名学生板演，其余学生在练习本上自己完成，教师巡视，并及时纠正学生在解题过程中出现的问题)结合上面两个例题，教师应让学生思考并回答，解一元一次不等式组的方法及步骤是什么？

　　解一元一次不等式组可以分为以下两个步骤：

　　(1)求出这个不等式组中各个不等式的解集；

　　(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出这个不等式组的解集．(若各个不等式的解集无公共部分，则此不等式无解)

　　三、课堂练习1．填表：(投影)

　　2．解下列不等式组：

　　四、师生共同小结

　　首先，让学生回答以下问题：

　　1．本节课我们学习了哪些内容？

　　2．什么叫一元一次不等式组的解集？什么叫解不等式组？

　　3．解一元一次不等式组的步骤是什么？

　　4．若一元一次不等式组中，不等式的个数多于两个时，解集的求法有无变化？结合学生的回答，教师指出，一元一次不等式组的解集是这个不等式组中各个不等式的解集的公共部分；当不等式个数多于两个时，求解方法没有变化．

　　五、作业

　　解不等式组：

　　课堂教学设计说明

　　在设计教学过程时，注意到了学生的年龄特点．遵循由浅入深、循序渐进的原则，并注意利用数轴的形象、直观来表示不等式组的解集．

不等式的教案4

　　教材分析

　　本节课是在系统的学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续的学习奠定基础。要进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式是必不可缺的。基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。

　　教学中注意用新课程理念处理教材，学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习，而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程。通过本节学习体会数学来源于生活，提高学习数学的乐趣。

　　课程目标分析

　　依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：

　　教学重、难点分析

　　重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程及应用。

　　难点：1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);

　　2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

　　教法分析

　　本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究;启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。

　　教学准备

　　多媒体课件、板书

　　教学过程

　　教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。

　　具体过程安排如下：

　　创设情景，提出问题;

　　设计意图：数学教育必须基于学生的`“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实.基于此，设置如下情境：

　　上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

　　[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?

　　本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式。在此基础上，引导学生认识基本不等式。

　　二、抽象归纳：

　　一般地，对于任意实数a，b，有，当且仅当a=b时，等号成立。

　　[问]你能给出它的证明吗?

　　学生在黑板上板书。

　　特别地，当a>0，b>0时，在不等式中，以、分别代替a、b，得到什么?

　　设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.

　　答案：。

　　【归纳总结】

　　如果a，b都是正数，那么，当且仅当a=b时，等号成立。

　　我们称此不等式为基本不等式。其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数。

　　三、理解升华：

　　1、文字语言叙述：

　　两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

　　2、联想数列的知识理解基本不等式

　　已知a，b是正数，A是a，b的等差中项，G是a，b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系?

　　两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

　　3、符号语言叙述：

　　若，则有，当且仅当a=b时，。

　　[问]怎样理解“当且仅当”?(学生小组讨论，交流看法，师生总结)

　　“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：

不等式的教案5

　　教学目的：

　　1、进一步掌握均值不等式定理；

　　2、会应用此定理求某些函数的最值；

　　3、能够解决一些简单的实际问题、

　　教学重点：

　　均值不等式定理的应用

　　教学难点：

　　解题中的转化技巧

　　教学过程：

　一、复习引入：

　　1．重要不等式：

　　（1）如果

　　（2）如果a，b都是正数，那么

　　当且当a=b时等号成立、

　　2、上课时中“例1”的条件、结论及注意事项、

　　二、讲解新课：

　　定理：如果，那么（当且仅当a=b=c时取“=”）

　　推论：如果，那么（当且仅当a=b=c时取“=”）

　　三、例题

　　例1已知a，b，c，d都是正数，求证：

　　例2求下列函数的最小值，并求相应的x值、

　　例3某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

　　四、课堂练习：

　　1、已知x≠0，当x取什么值时，x2＋的值最小？最小值是多少？

　　2、一段长为Ｌm的'篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

　　四、作业：习题6、2 6、 7；

　　补充：

　　（1）求函数y＝2x2＋（x＞0）的最小值、

　　（2）求函数y＝x2＋（x＞0）的最小值、

　　（3）求函数y＝3x2－2x3（0＜x＜）的最大值、

　　（4）求函数y＝x（1－x2）（0＜x＜1）的最大值、

　　（5）设a＞0，b＞0，且a2＋＝1，求a的最大值、

不等式的教案6

　　知识与技能：

　　1、了解一元一次不等式组的概念、

　　2、理解一元一次不等式组的解集，能求一元一次不等式组的解集、

　　3、会解一元一次不等式组、

　　过程与方法：

　　通过具体问题得到一元一次不等式组，从而了解一元一次不等式组的概念，解出每个不等式，利用数轴求出各不等式解集的公共部分，从而得到不等式组的解集，通过解几个有代表性的一元一次不等式组，总结出求不等式组解集的法则、

　　情感态度：

　　运用数轴确定不等式组的解集是行之有效的方法、这种“数形结合”的方法今后经常用到，锻炼同学们数形结合的能力，提高学习兴趣、

　　教学重点：

　　一元一次不等式组的解法、

　　教学难点：

　　确定一元一次不等式组的解集、

　　一、情境导入，初步认识

　　问题1：

　　现有两根木条a和b，a长10cm，b长3cm，如果要再找一根木条c，用这三根木条钉成一个三角形木框，那么木条c的长度有什么要求?

　　解：由于三角形中两边之____大于第三边，两边之____小于第三边，设c的长为xcm，则x<____，①

　　x>____，②

　　合起来，组成一个__________

　　由①解得_____________

　　由②解得_____________

　　在数轴上表示就是________________

　　容易看出：x的取值范围是____________________

　　这就是说，当木条c比____cm长并且比____cm短时，它能与木条a和b一起钉成三角形木框、

　　问题2：

　　由上面的解不等式组的过程用自己的语言归纳出一元一次不等式组的解法

　　教学说明：全班同学可独立作业，也可分组自由讨论，10分钟后交流成果，逐步得出结论

　　二、思考探究，获取新知

　　思考什么叫一元一次不等式组，什么叫一元一次不等式组的解集，什么叫解不等式组?

　　归纳结论

　　1、定义：

　　(1)一元一次不等式组：几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来组成一个一元一次不等式组、(2)一元一次不等式组的解集：几个不等式的`解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式的解集、(3)解不等式组：求一元一次不等式组的解集的过程叫解一元一次不等式组、

　　2、一元一次不等式组的解法：

　　(1)求出每个一元一次不等式的解集、

　　(2)求出这些解集的公共部分，便得到一元一次不等式组的解集

不等式的教案7

　　教学目标：

　　认知目标：1.了解一次函数与一元一次不等式的关系，会根据一次函数的图象解决一元一次不等式的求解问题.

　　2.学习用函数的观点看待不等式的方法，初步形成用全面的观点处理局部问题的.

　　能力情感目标：经历不等式与函数关系问题的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题的辨证.

　　教学重点：一次函数与一元一次不等式的关系的理解.

　　教学难点：利用一次函数的图象确定一元一次不等式的解集.

　　教学过程：

　　一、探究新知：

　　通过上节课的学习，我们已经知道“解一元一次方程ax+b=0”与“求自变量为何值时，一次函数y=ax+b的值为０”是同一个问题.现在我们来看看：

　　（１）以下两个问题是否为同一个问题？

　　①解不等式：２ｘ-４＞０

　　②当ｘ为何值时，函数y=２ｘ-４的值大于０？

　　（２）你如何利用函数的图象来说明②？

　　（３）“解不等式２ｘ-４＜０”可以与怎样的一次函数问题是同一的.？怎样在图象上加以说明？

　　归纳：解一元一次不等式ax+b＞０（或ax+b＜０）可以看作：当一次函数y=ax+b的值大（小）于0时，求自变量响应的取值范围.

　　二、应用新知：

　　１.练习：P42练习1（3）（4）

　　２.例２用画函数图象的方法解不等式５ｘ+４＞２ｘ+１０.

　　思考：我们应该画出什么函数的图象来解？

　　思路１：将不等式化为３ｘ-６＞０，然后画出函数y=３ｘ-６的图象.

　　思路２：将不等式５ｘ+４＞２ｘ+１０的两边分别看作两个一次函数，画出直线y=5x+4和直线y=2x+10，对于同一个x，直线y=5x+4上的点在直线y=2x+10上相应点的下方，这时

　　５ｘ+４＞２ｘ+１０.

　　三、巩固练习

　　1.P42练习2（2）

　　2.P45习题11.3第3、4题

　　四、

　　五、布置作业

不等式的教案8

　　教学目标:

　　(1)透彻理解、掌握一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的内在联系,会解一元二次不等式;

　　(2)培养学生数学的数形结合思想和转化能力,学会主动探求问题和寻找解决问题的方法。

　　教学重点:一元二次不等式的解法(图象法)

　　教学难点:

　　(1)一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系;

　　(2)数形结合思想的渗透

　　教学方法与教学手段:

　　尝试探索教学法、归纳概括。

　　教学过程:

　　一、复习引入

　　1.复习一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系

　　[师]前面我们已经学习了绝对值不等式的解法,今天开始研究一元二次不等式的解法。(板书课题)记得在初中我们已学习了一元一次不等式的解法,还记得是用什么方法解的吗?

　　学生可能回答是代数方法,也可能说是利用直线图象。

　　[师]初中学习了一次函数的图象,使得我们对一元一次不等式的解法有了更深入的了解。首先请同学们画出 y=2x-7

　　[师]请同学们画出图象,并回答问题。

　　一次函数y=2x-7的图象如下:

　　填表:

　　当x 时,y = 0,即 2x-7 0;

　　当x 时,y < 0,即 2x-7 0;

　　当x 时,y > 0,即 2x-7 0;

　　注:(1)引导学生由图象得出结论(数形结合)

　　(2)由学生填空(一边演示y<0,y>0部分图象)

　　从上例的特殊情形,你能得出什么结论?

　　注:教师引导下学生发现其结论,并由学生尝试叙述:一元一次方程ax+b=0的'根实质上就是直线y=ax+b与x轴交点的横坐标;一元一次不等式ax+b>0(或ax+b<0)的解集实质上就是使得函数的图象在x轴上方还是下方时x的取值范围。

　　2.新课导入

　　[师]我们可以利用一次函数的图象快速准确地求出一元一次不等式的解集,那能否也可以借助二次函数的图象来解一元二次不等式呢?

　　二、讲解新课

　　1、一元二次不等式解法的探索

　　[师] 你知道二次函数的草图是怎样画出的吗?(用"特殊点法"而非课本上的"列表描点法")你能回答以下问题吗?二次函数 y=x2-4x+3的图象如下:

　　填表:方程x2-4x+3=0(即y=0)的解是

　　不等式x2-4x+3>0(即y>0)的解集是

　　不等式x2-4x+3<0(即y<0)的解集是

　　注:学生类比前面的知识,能根据二次函数的图象确定与x轴的交点,确定对应的一元二次方程的根,从而确定一元二次不等式的解集。(边说边画y>0,y<0部分图象)

　　[师]现在如果我变动这条抛物线,请大家观察抛物线与x轴的交点有何变化?

　　注:引导学生发现一元二次方程的根有三种情况,其对应的二次函数图象与x轴的位置关系也有三种情况,是由 >0, =0,<0来确定的。

　　2、讲解例题

　　[师]接下来请同学们再来分析几个具体例子

　　(板书)例:解下列各不等式

　　(1)2x2-3x-2>0;

　　(2) -3x2+6x>2;

　　(3)4x2-4x+1>0;

　　(4)-x2+2x-3>0.

　　注:跟学生共同详细分析(1),强调解题规范性,其余(2)(3)(4)由学生完成,并小组讨论。

　　解:(1)方程2x2-3x-2=0的两根为x1=- 或 x2=2,(画草图,结合图象)

　　所以原不等式的解集是{x| x<- x="">2 }

　　四、课后作业:书P21/习题1.5/1.3.5.6

　　五、教学设计说明:

　　1、本节课教学设计力图体现以学生发展为本,遵循学生的认知规律,体现循序渐进的教学原则,通过对原有知识的复习,引导学生类比探索新的知识,激发学生的求知欲望,调动学生的积极性。

　　2、本节课采用在教师引导下启发学生探索发现,体会解题过程中形结合思想方法,使之获得内心感受。

　　3、本节课的重点是利用图象解一元二次不等式,让学生明确一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间的联系。在思维训练方面,注重从特殊到一般,从具体到抽象思维的培养。归纳总结可以训练学生的收敛思维,有助于完善学生的思维结构。

　　4、本节课的例题及课堂练习是课本上的习题,其目的在于落实基础,提高运算能力。

不等式的教案9

　　一、教学目标

　　(一)知识与技能

　　1.了解从实际情境中抽象出二元一次不等式(组)模型的过程

　　2.掌握简单的二元线性规划问题的解法

　　3.了解数学建模的整个过程

　　(二)过程与方法

　　1.通过对实际问题的探索，培养学生用数学眼光去观察生活、并且能提出问题、分析问题、解决问题的能力.

　　2.增强学生的协作能力.

　　(三) 情感、态度与价值观

　　1.通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学模型的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣，深刻体会数学是有用的.

　　2.通过实例的社会意义，培养学生爱护环境的责任心.

　　二、教学重点、难点

　　重点：从具体生活情境中提炼出简单的二元线性规划问题，并且用数学方法解决问题.

　　难点：从具体生活情境中提炼出约束条件和目标函数.

　　三、教学设想

　　本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以二元一次不等式(组)模型的发现为基本探究内容，以周围世界和生活实际为对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对实际问题的深入探讨.让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新.设计思路如下：

　　创设情境→方案讨论→数据筛选→建立模型→解决模型→反馈实际

　　四、教学过程：

　　引入

　　(1)如图，小明与小聪玩跷跷板，大家都不用力时，跷跷板左低右高.小明的身体质量为 p(kg)，小聪的身体质量为q(kg)，书包的质量为2kg，怎样表示p 、q之间的关系?

　　(2)上图是公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行使的速度不得超过40km /h.若用v (km /h)表示车的速度，那么v与40之间的数量关系用怎样的式子表示?

　　(3)据科学家测定，太阳表面的温度不低于6000 ℃.设太阳表面的温度为t (℃)，怎样表示t 与6000之间的关系?

　　归纳：数学作用之一，我们可以用数学语言描述客观世界的某些现象

　　当然，数学作用不仅于此，我们还可以通过数学解决现实生活中的问题.

　　(一)情景设置

　　我校环境优美，毗邻江水，校园内四季常青，但是远眺围墙外，有一座小山，那是一座垃圾山.杨府山垃圾场有他的`历史作用和意义，现在已经完成了它的历史使命，而且现在有了负面影响，市委市政府打算对其进行改造.经过专家论证，有如下方案可行：发电、制砖

　　(二)处理方案讨论

　　现同时用两种措施对垃圾山进行改造处理，如果你是项目经理，给你500万采购发电设备以及制砖设备，你该如何去实施?

　　(学生自主发言)

　　学生问题一、怎样安排资金?买几台发电设备，几台制砖设备?如何决策?

　　引导：问题转化为如何安排资金，能取得最大效益?即两种方案生产产品的利润(售价减去成本)

　　学生问题二、如何知道这些信息?(产品售价、设备的单价等)

　　引导(先提问学生)：上网查询、市场调查、向已建厂取经、参观展销会等等.

　　(三)数据的筛选

　　由于教室条件限制，不能现场查取，所以老师帮你们收集了一些资料，希望对你们有所帮助.请分析以下信息，提取你认为有用的数据.

　　信息一、

　　信息二、

　　焚烧垃圾重量直接关系到垃圾发电企业的经济效益.在BOT的模式下，企业的效益这样来保障：

　　1.每处理1吨垃圾，政府补贴发电企业73.8元，

　　2.保证以0.52元/千瓦时的价格收购全部垃圾发电量，

　　3.一台发电设备每处理1吨垃圾平均费用为123元

　　4.一台发电设备日处理垃圾能力为225吨，

　　5.1吨垃圾可发电300千瓦时，其中30%为自用电

　　信息三、

　　发电设备：120万/台制砖设备：35万/台

　　机房总面积为7亩，每台设备有各自平均占地，其中发电设备每台平均占地1亩，制砖机每台平占地1亩

　　(四)建立模型

　　你能从以上信息中提炼出你所需要的信息，并用数学语言表示出来吗?

　　(学生动手)

　　引导：我们刚才处理的问题即应用题：

　　例一工厂欲生产甲乙两种产品，已知生产一件甲产品利润为60元，一台甲设备价格为120万，占地1亩，年生产能力为82125件;生产一件乙产品利润为0.12元，一台乙设备价格为35万，占地1亩，年生产能力为15000000件.现有资金500万，厂房7亩，该厂该如何添置甲乙两种设备，使得年利润最大?

　　(五)解决模型

　　该问题即我们上节课刚学过的线性规划问题，请大家动手解决.

　　(六)反馈实际

　　我们可以将我们的成果发到市长信箱，为城市建设出谋划策，贡献自己的一份力量.

　　五、归纳小结

　　(一)解决生活问题的步骤：

　　创设情境→方案讨论→数据筛选→建立模型→解决模型→反馈实际

　　现实问题：给你资金和地皮，购置设备

　　方案讨论：通过1.上网查询 2.市场调查3.吸收已建厂经验等方法收集信息.

　　数据筛选及建立模型：将收集到的信息用数学语言表示出来.

　　解决模型：用已学过的数学知识进行分析、处理，得出结论.

　　反馈实际：将结论应用于实际问题当中.

　　(二)顺利解决生活问题体要具备的能力

　　我们要具备信息收集及处理能力、生活语言转化成数学语言的能力以及扎实的数学解题能力.

不等式的教案10

　　教学目标

　　1、会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次不等式解决实际问题；

　　2、通过观察、实践、讨论等活动，经历从实际中抽象出数学模型的过程，积累利用一元一次不等式解决实际问题的经验，渗透分类讨论思想，感知方程与不等式的内在联系；

　　3、在积极参与数学学习活动的过程中，初步认识一元一次不等式的应用价值，形成实事求是的态度和独立思考的习惯。

　　教学重点：

　　寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型。

　　教学难点：

　　弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式。

　　教学过程（师生活动）

　　提出问题某学校计划购实若干台电脑，现从两家商店了解到同一型号的'电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠。甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收款，其余每台优惠25％；乙商场的优惠条件是：每台优惠20％。如果你是校长，你该怎么考虑，如何选择？

　　探究新知1、分组活动。先独立思考，理解题意。再组内交流，发表自己的观点。最后小组汇报，派代表论述理由。

　　2、在学生充分发表意见的基础上，师生共同归纳出以下三种采购方案：

　　(1)什么情况下，到甲商场购买更优惠？

　　(2)什么情况下，到乙商场购买更优惠？

　　(3)什么情况下，两个商场收费相同？

　　3、我们先来考虑方案：

　　设购买x台电脑，如果到甲商场购买更优惠。

　　问题1：如何列不等式？

　　问题2：如何解这个不等式？

　　在学生充分讨论的基础上，教师归纳并板书如下：解：设购买x台电脑，如果到甲商场购买更优惠，则6000＋6000（1－25％）（x－1）＜6000（1－20％）x

　　去括号，得

　　去括号，得：6000＋4500x－45004＜4800x

　　移项且合并，得：－300x＜1500

　　不等式两边同除以－300，得<5

　　答：购买5台以上电脑时，甲商场更优惠。

　　4、让学生自己完成方案(2)与方案(3)，并汇报完成情况。

　　教师最后作适当点评。

　　解决问题甲、乙两个商场以同样的价格出售同样的商品，同时又各自推出不同的优惠措施。甲商场的优惠措施是：累计购买100元商品后，再买的商品按原价的90％收费；乙商场则是：累计购买50元商品后，再买的商品按原价的95％收费。顾客选择哪个商店购物能获得更多的优惠？

　　问题1：这个问题比较复杂。你该从何入手考虑它呢？

　　问题2：由于甲商场优惠措施的起点为购物100元，乙商场优惠措施的起点为购物50元，起点数额不同，因此必须分别考虑。你认为应分哪几种情况考虑？

　　分组活动。先独立思考，再组内交流，然后各组汇报讨论结果。

　　最后教师总结分析：

　　1、如果累计购物不超过50元，则在两家商场购物花费是一样的；

　　2、如果累计购物超过50元但不超过100元，则在乙商场购物花费小。

　　3、如果累计购物超过100元，又有三种情况：

　　(1)什么情况下，在甲商场购物花费小？

　　(2)什么情况下，在乙商场购物花费小？

　　(3)什么情况下，在两家商场购物花费相同？

　　上述问题，在讨论、交流的基础上，由学生自己解决，教师可适当点评。

　　总结归纳：

　　通过体验买电脑、选商场购物，感受实际生活中存在的不等关系，用不等式来表示这样的关系可为解决问题带来方便。由实际问题中的不等关系列出不等式，就把实际问题转化为数学问题，再通过解不等式可得到实际问题的答案。

　　布置作业：

　　教科书第126页习题9.2第1题（1）（2）第3题1、2。

不等式的教案11

　　〖教学目标〗

　　1、理解一元一次不等式组的概念.

　　2、理解不等式组的解的概念．

　　3、会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解.

　　4、培养学生类比推理能力．

　　〖教学重点与难点〗

　　教学重点：一元一次不等式组的解法.

　　教学难点：例2较为复杂，几乎包括了解一元一次不等式的全部步骤，是本节教学的难点，用数轴表示一元一次不等式组的解也是难点。

　　〖教学过程〗

　　一.引入

　　1．想一想：某单位从超市购买了墨水笔和圆珠笔共15桶，所付金额超过570元，但不到580元。已知这两种笔每桶的单价为圆珠笔34.90元/支，墨水笔44.90元/支。设购买圆珠笔Ｘ桶，你能列出几个不等式？

　　2．学生活动：找出已知条件，列出所有不等关系式，互相讨论，类推概念，鼓励学生通过观察，分析，补充解决问题。

　　3．最后教师总结两个不等式。

　　如设购买圆珠笔的桶数为Ｘ，则：

　　二.新课

　　1．一元一次不等式组：一般地，由几个同一个未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组。像上面就是一元一次不等式组，再

　　例如：

　　都是一元一次不等式组.

　　2.不等式组解的概念：组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解.当它们没有公共部分时.我们称这个不等式组无解.

　　3.做一做：

　　例1.解一元一次不等式组

　　解：解不等式①,

　　得:

　　X>-1

　　解不等式②,

　　得:

　　X≤6

　　把

　　①

　　②两个不等式的解表示在数轴上,如下图:

　　-1

　　所以原不等式组的解是-1

　　4.应用拓展：解由两个一元一次不等式组成的不等式组,在取各个不等式的解公共部分时,有几种不同情况吗?

　　若a

　　用数轴试一试.

　　（设a

　　一般由两个一元一次不等式组成的不等式组由四种基本类型确定，它们的解集、数轴表示如下表

　　一元一次

　　不等式组

　　解集

　　图示

　　口诀

　　x>a

　　x>b

　　大大取大

　　小小取小

　　x>a

　　比小大，比大小，中间找

　　x>b

　　无解

　　比小小，比大大，解不了（无解）

　　5.尝试反馈：试一试，利用数轴分别求出满足下列各组不等式组的x值的公共部分：

　　6．探索较复杂的不等式组的解法：

　　例2.

　　解一元一次不等式组

　　解:由不等式①,去扩号得

　　3-5X>X-4X+2

　　移项,整理得

　　-2X>-1

　　所以X<

　　解不等式②,去分母得

　　3X-2>10-2X

　　移项,整理得

　　5X>12

　　所以X>

　　把①,②两个不等式的解表示在数轴上.

　　所以原不等式组无解.

　　7.通过范例,帮助学生总结解一元一次不等式组的步骤:

　　(1)依次解各个一元一次不等式.

　　(2)把各个一元一次不等式的'解分别表示在同一数轴上.

　　(3)根据解在数轴上的表示确定不等式组的解.

　　三.巩固

　　（学生活动，与同伴交流自己的问题和解决问题的过程）

　　1.解下列一元一次不等式组:

　　2.分别求出本节开头问题中购买墨水笔和圆珠笔的桶数

　　四．归纳

　　1．学生谈本节课的收获：优等生谈学到什么知识，上进生谈体会；

　　2．教师小结：这节课主要学习了一元一次不等式组及不等式组的解的有关概念，要求会解有两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组，并会用数轴确定解集；也可以利用口诀“大大取大，小小取小，比小大比大小取中间，比大大比小小无解”来求不等式组的解。

　　五．布置作业

不等式的教案12

　　一、三维目标：

　　1、知识与技能：

　　理解基本不等式的内容及其证明，能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题

　　2、过程与方法：

　　能够理解并建立不等式的知识链

　　3、情感、态度与价值观：

　　通过运用基本不等式解答实际问题，提高用数学手段解答现实生活中的问题的能力和意识

　　4、本节重点：

　　应用数形结合的思想，理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程

　　5、本节难点：

　　应用基本不等式求最值

　　二、课程引入：

　　第24届世界数学家大会在北京召开，会标设计如图：

　　四个以a，b为直角边的直角△ABC，组成正方形ABCD

　　则

　　如图可知：即

　　当且仅当小正方形EFGH面积为0时取等号，即时取得等号

　　三、新课讲授：

　　（一）基本不等式的推证：

　　1、重要不等式与基本不等式

　　由引入中提到的重要不等式，将其中的用代换，

　　得到基本不等式，当且仅当时，即时取得等号。

　　特别注意，重要不等式的适用范围是全体实数，

　　而基本不等式的使用需要

　　2、基本不等式的几种表述方式

　　平均数角度：两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（均值不等式定理）

　　数列角度：两正数的等差中项不小于它们的等比中项

　　探究：基本不等式的几何表示：半径不小于半弦长

　　3、分析法推证基本不等式

　　要证，只需证明（2）。要证明（2）只需证明（3）。

　　要证明（3）只需证明（4）。（4）式显然成立，故得证。

　　（二）基本不等式的应用与提高：

　　1、你是设计师！

　　（1）春天到了，学校决定用篱笆围一个面积为100平米的花圃种花。有以下两种方案：

　　圆形花圃：造价12元/米

　　矩形花圃：造价10元/米

　　你觉得哪个方案更省钱呢？

　　分析及解答：因为初中学习过平面几何，同学们大都知道，同样长度的篱笆围圆形会比围矩形得到的面积大，由此可知，同样的面积肯定是为圆形用的材料省。但是本题涉及造价问题，两种篱笆的花费不同。圆形篱笆虽然需要的材料少，但是每米的花费高，所以到底应该用哪个方案需要动手算一下才能知道。在这里让学生分成两派，可以自己选择一个认为比较省钱的方案去计算。

　　圆形花圃：

　　矩形花圃：设两边为x，y，，故当x=y时花费最少为400元

　　（2）现在只有36米的篱笆可用，怎么样设计才能使得矩形花圃的面积最大？

　　解：

　　（3）有人出了个主意，让花圃的一面靠墙，利用墙壁作为花圃的一边，可以省一部分材料。那么发挥你的聪明才智，用这36米的篱笆，怎么样设计才能围出面积最大的花圃？

　　2、看谁算得快！

　　3、大家来挑错！

　　分析：结合上一系列题目中的（5）-（7）题可知，本题的解答忽略了对基本不等式使用时必须是正数这一点注意事项。

　　本题的解答在使用基本不等式时没有找到定值条件，只是盲目的套用基本不等式的形式，导致所得结果并不是最小的值。

　　提醒同学注意：在使用基本不等式求最值为题时，式中的积或和必须是定值。

　　本题的解答没有注意本身的限制，使得基本不等式的等号无法取得。

　　提醒同学注意：最值是否存在要考虑基本不等式中的'等号是否能取得，在什么情况下取得。

　　（三）小结：

　　1、使用重要不等式和基本不等式需要注意适用条件，基本不等式需要正数，重要不等式可用于全体实数。

　　2、积定和最小、和定积最大。

　　3、使用基本不等式解决最值问题需要注意“一正，二定，三相等”

　　四、作业：

　　1、书后练习题。

　　2、请你给出大家来挑错环节里三道题目的正确解答。

　　五、课后反思：

　　1、多媒体的运用。

　　在引入部分，关于数学家大会的图标，如果可以进一步利用多媒体做出可以变形的效果，让学生更加直观的观察到变换过程的话，教学效果会更好。

　　2、应该引导学生多种思路考虑问题

　　比如这样的拼凑出定值条件的思路是学生应该掌握的。

　　3、因为本节是新课讲授，学生新接触一个知识，还没有能够很好的融会贯通。因此上在这个阶段不应该做过难的题目。一些简单的，同时可以起到巩固新知识的小题目往往可以起到更好的效果。本课中设计了一些基本可以口答的小题，让学生在很短的时间中完成。这不仅可以强化学生会本节主要内容的理解和运用，而且也对快速反应和解答题目进行了强化，提高学生解题效率。

　　4、让学生学会检查和挑错其实是很重要的。本课中的大家来挑错环节不仅可以强化学生对本节重点内容的理解，而且再遇到相似题型的时候可以避免犯类似的错误，提高教学效率。同时也培养了学生质疑精神，寻求科学真理的热情。

不等式的教案13

　　教学分析

　　本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.

　　通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.

　　在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.

　　在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识.

　　三维目标

　　1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.

　　2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围.

　　3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美.

　　重点难点

　　教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围.

　　教学难点：准确比较两个代数式的大小.

　　课时安排

　　1课时

　　教学过程

　　导入新课

　　思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.

　　思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢?让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课.

　　推进新课

　　新知探究

　　提出问题

　　1回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系?

　　2在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗?

　　3数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系?

　　4任意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系?

　　活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a>b”“a

　　教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的'前提下，进一步学习不等式的有关内容.

　　实例1：某天的天气预报报道，最高气温32 ℃，最低气温26 ℃.

　　实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA

　　实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.

　　实例4：两点之间线段最短.

　　实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

　　实例6：限速40 km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.

　　实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.

　　教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.

　　教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t表示某天的气温，则26 ℃≤t≤32 ℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下图.

　　|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.

　　|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交换被减数与减数的位置也可以.

　　实例6，若用v表示速度，则v≤40 km/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的.但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.

　　对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论.

　　讨论结果：

　　(1)(2)略;(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.

　　(4)对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a

　　应用示例

　　例1(教材本节例1和例2)

　　活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法.

　　点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握.

　　变式训练

　　1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，则f(x)与g(x)的大小关系是( )

　　A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x)

　　C.f(x)

　　答案：A

　　解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).

　　2.已知x≠0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小.

　　解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.

　　∵x≠0，得x2>0.从而(x2+1)2>x4+x2+1.

　　例2比较下列各组数的大小(a≠b).

　　(1)a+b2与21a+1b(a>0，b>0);

　　(2)a4-b4与4a3(a-b).

　　活动：比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定.本例可由学生独立完成，但要点拨学生在最后的符号判断说理中，要理由充分，不可忽略这点.

　　解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.

　　∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.

　　(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)

　　=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]

　　=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].

　　∵2a2+(a+b)2≥0(当且仅当a=b=0时取等号)，

　　又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0.

　　∴a4-b4<4a3(a-b).

　　点评：比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号.变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.

　　变式训练

　　已知x>y，且y≠0，比较xy与1的大小.

　　活动：要比较任意两个数或式的大小关系，只需确定它们的差与0的大小关系.

　　解：xy-1=x-yy.

　　∵x>y，∴x-y>0.

　　当y<0时，x-yy<0，即xy-1<0. ∴xy<1;

　　当y>0时，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.

　　点评：当字母y取不同范围的值时，差xy-1的正负情况不同，所以需对y分类讨论.

　　例3建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积.但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好.试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了?请说明理由.

　　活动：解题关键首先是把文字语言转换成数学语言，然后比较前后比值的大小，采用作差法.

　　解：设住宅窗户面积和地板面积分别为a、b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a

　　由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，

　　因此a+mb+m>ab≥10%.

　　所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了.

　　点评：一般地，设a、b为正实数，且a0，则a+mb+m>ab.

　　变式训练

　　已知a1，a2，…为各项都大于零的等比数列，公比q≠1，则( )

　　A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8

　　C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8与a4+a5大小不确定

　　答案：A

　　解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4

　　=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).

　　∵{an}各项都大于零，∴q>0，即1+q>0.

　　又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.

　　知能训练

　　1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的个数为( )

　　A.3 B.2 C.1 D.0

　　2.比较2x2+5x+9与x2+5x+6的大小.

　　答案：

　　1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，

　　③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.

　　∴只有①恒成立.

　　2.解：因为2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，

　　所以2x2+5x+9>x2+5x+6.

　　课堂小结

　　1.教师与学生共同完成本节课的小结，从实数的基本性质的回顾，到两个实数大小的比较方法;从例题的活动探究点评，到紧跟着的变式训练，让学生去繁就简，联系旧知，将本节课所学纳入已有的知识体系中.

　　2.教师画龙点睛，点拨利用实数的基本性质对两个实数大小比较时易错的地方.鼓励学有余力的学生对节末的思考与讨论在课后作进一步的探究.

　　作业

　　习题3—1A组3;习题3—1B组2.

　　设计感想

　　1.本节设计关注了教学方法的优化.经验告诉我们：课堂上应根据具体情况，选择、设计最能体现教学规律的教学过程，不宜长期使用一种固定的教学方法，或原封不动地照搬一种实验模式.各种教学方法中，没有一种能很好地适应一切教学活动.也就是说，世上没有万能的教学方法.针对个性，灵活变化，因材施教才是成功的施教灵药.

　　2.本节设计注重了难度控制.不等式内容应用面广，可以说与其他所有内容都有交汇，历来是高考的重点与热点.作为本章开始，可以适当开阔一些，算作抛砖引玉，让学生有个自由探究联想的平台，但不宜过多向外拓展，以免对学生产生负面影响.

　　3.本节设计关注了学生思维能力的训练.训练学生的思维能力，提升思维的品质，是数学教师直面的重要课题，也是中学数学教育的主线.采用一题多解有助于思维的发散性及灵活性，克服思维的僵化.变式训练教学又可以拓展学生思维视野的广度，解题后的点拨反思有助于学生思维批判性品质的提升.

　　备课资料

　　备用习题

　　1.比较(x-3)2与(x-2)(x-4)的大小.

　　2.试判断下列各对整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.

　　3.已知x>0，求证：1+x2>1+x .

　　4.若x

　　5.设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb与abba的大小.

　　参考答案：

　　1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)

　　=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)

　　=1>0，

　　∴(x-3)2>(x-2)(x-4).

　　2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)

　　=m2-2m+5+2m-5

　　=m2.

　　∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.

　　∴m2-2m+5≥-2m+5.

　　(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)

　　=a2-4a+3+4a-1

　　=a2+2.

　　∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.

　　∴a2-4a+3>-4a+1.

　　3.证明：∵(1+x2)2-(1+x)2

　　=1+x+x24-(x+1)

　　=x24，

　　又∵x>0，∴x24>0.

　　∴(1+x2)2>(1+x)2.

　　由x>0，得1+x2>1+x.

　　4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)

　　=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]

　　=-2xy(x-y).

　　∵x0，x-y<0.

　　∴-2xy(x-y)>0.

　　∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).

　　5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，

　　当a>b>0时，ab>1，a-b>0，

　　则(ab)a-b>1，于是aabb>abba.

　　当b>a>0时，0

　　则(ab)a-b>1.

　　于是aabb>abb a.

　　综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabb>abba.

不等式的教案14

　　探究活动

　　能得到什么结论

　　题目已知且，你能够推出什么结论？

　　分析与解：

　　由条件推出结论，我们可以考虑把已知条件的变量范围扩大，对已知变量作运算，运用不等式的性质，或者跳出不等式去考虑一般的数学表达式。

　　思路一：改变的`范围，可得：

　　1．且；

　　2．且；

　　思路二：由已知变量作运算，可得：

　　3．且；

　　4．且；

　　5．且；

　　6．且；

　　7．且；

　　思路三：考虑含有的数学表达式具有的性质，可得：

　　8．（其中为实常数）是三次方程；

　　9．（其中为常数）的图象不可能表示直线。

　　说明从已知信息能够推出什么结论？这是我们经常需要思考的问题，这里给出的都是必要非充分条件，读者可以考虑是否能够写出充要条件；另外，运用推出关系的传递性，在推出结论的基础上进一步进行推理，还可得出很多结果，请读者考虑．

　　探究关系式是否成立的问题

　　题目当成立时，关系式是否成立？若成立，加以证明；若不成立，说明理由。

　　解：因为，所以，所以，所以，所以或

　　所以或

　　所以不可能成立。

　　说明：像本例这样的探索题，题目的结论是“两可”（即两种可能性）情形，而我们知道，说明结论不成立可像例1那样举一个反例就可以了。不过像本例的执果索因的分析，不仅说明结论不成立，而且得出，必须同时大于1或同时小于1的结论。

　　探讨增加什么条件使命题成立

　　例适当增加条件，使下列命题各命题成立：

　　（1）若，则；

　　（2）若，则；

　　（3）若，则；

　　（4）若，则

　　思路分析：

　　本例为条件型开放题，需要依据不等式的性质，寻找使结论成立时所缺少的一个条件。

不等式的教案15

　　数学不等式教案〖教学目标〗

　　在本学段，学生将经历从实际问题中建立不等关系，进而抽象出不等式的过程，体会不等式和方程一样，都是刻画现实世界中同类量之间关系的重要数学模型，同时进一步发展学生的符号感.

　　(一)知识目标

　　1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义.

　　2.理解什么是不等式成立，掌握不等式是否成立的判定方法.

　　3.能依题意准确迅速地列出相应的不等式.体会现实生活中存在着大量的不等关系，学习不等式的有关知识是生活和工作的需要.

　　(二)能力目标

　　1.培养学生运用类比方法研究相关内容的能力.

　　2.训练学生运用所学知识解决实际问题的能力.

　　(三)情感目标

　　1.通过引导学生分析问题、解决问题，培养他们积极的参与意识，竞争意识.

　　2.通过不等式的学习，渗透具有不等量关系的数学美.

　　数学不等式教案〖教学重点〗

　　能依题意准确迅速地列出相应的不等式.

　　数学不等式教案〖教学难点〗

　　理解符号“≥”“ ≤”的含义，理解什么是不等式成立.

　　数学不等式教案〖教学过程〗

　　一、课前布置

　　1.浏览课本P2~21，了解本章结构。_K]

　　自学：阅读课本P2~P4，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题(鼓励提问).

　　2.查找“不等号的由来”

　　备注：不等号的由来|K]

　　①现实世界中存在着大量的不等关系，如何用符号表示呢? 为了寻求一套表示“大于”或“小于”的符号，数学家们绞尽脑汁.1631年，英国数学家哈里奥特首先创用符号“>”表示“大于”，“<”表示“小于”，这就是现在通用的大于号和小于号.与哈里奥特同时代的数学家们也创造了一些表示大小关系的符号，但都因书写起来十分繁琐而被淘汰.

　　②后来，人们在表达不等关系时，常把等式作为不等式的特殊情况来处理.在许多情况下，要用到一个数(或量)大于或等于另一个数(或量)，此时就把“>”和“=”有机地结合起来得到符号“≥”，读做“大于或等于”，有时也称为“不小于”.同样，把符号“≤”读做“小于或等于”，有时也称为“不大于”.

　　那么如何理解符号“≥”“≤”的含义呢?用“≥”表示“>”或 “=”，即两者必居其一，不要求同时满足.例如 ≥0，其中只有“>”成立，“=”就不成立.同样“≤”也有类似的情况.

　　③因此有人把a>b,b

　　现代数学中又用符号“≮”表示“不小于”，用“≯”表示“不大于”.有了这些符号，在表示不等关系时，就非常得心应手了.

　　二、师生互动

　　和学生一起进行知识梳理

　　(一)由师生一起交流“不等号的由来”① ，引出学习目标——认识不等式

　　1.引起动机：

　　教师配合课本“观察与思考”“一起探究”等内容提问：用数学式子要如何表示小卡车赶超大卡车?

　　2.学生进行讨论并回答。

　　3.教师举例说明：

　　数学符号“>、<、≥、≤、≠”称为不等号，而含有这些符号的式子就称为不等式。

　　4.结合自己的旧经验，让学生认识“≤”所代表的意思。

　　教师说明：

　　在小学时我们学过“小于”的符号，也就是说如果“a小于b”，我们可以记为“a

　　5.仿照上面说明由学生进行“≥”的介绍.

　　6.教师举例提问：

　　如果我们要比较两数的大小关系时，可能会有几种情形?

　　(当我们比较两数的大小关系时，下面三种情形只有一种会成立，即 ab)

　　7.老师提问：如果我们只知道“a不大于b”，那该如何用不等号来表示呢?

　　(「a不大于b」表示「a小于b」且「a有可能等于b」，所以我们可以记录成「a≤b」 )

　　8.仿照此题，引导学生了解“a不小于b”及“a不等于b”所代表的意义.

　　教师归纳说明：不等式的意义

　　不等式表示现实世界中同类量的不等关系.在有理数大小的比较中，我们常用不等号连接两个或两个以上的有理数，如-3>-5.不等式含有不等号，常见的不等号有五种，其读法及意义如下：

　　(1)“>”读作“大于”，表示其左边的量比右边的量大.

　　(2)“<”读作“小于”，表示其左边的量比右边的量小.

　　(3)“≥”读作“大于等于”，即“不小于”，表示其左边的量大于或等于右边.

　　(4)“≤”读作“小于等于”，即“不大于”，表示其左边的量小于或等于右边.

　　(5)“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能明确哪个大，哪个小

　　(二)用不等式表示数量关系

　　关键是明确问题中常用的表示不等关系词语的意义，并注意隐含在具体的'情境中的不等关系.

　　补充例1. 下面列出的不等式中，正确的是 ( )

　　(A)a不是负数，可表示成a>0m]

　　(B)x不大于3，可表示成x<3

　　(C)m与4的差是负数，可表示成m-4<0

　　(D)x与2的和是非负数，可表示成x+2>0

　　解析：用不等式表示下列数量关系，关键是能用代数式准确地表示出有关的数量，并掌握"不大于"、“不超过”、“是非负数”等词语的正确含义及表示符号.

　　因为 a不是负数，可表示成a≥0;

　　x不大于3，应表示成x≤3xx§k.Com]

　　x与2的和是非负数应表示成x+2≥0，

　　所以只有(C)正确. 故本题应选(C).

　　(三)不等式成立的意义

　　对于含有未知数的不等式来说，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立;当未知数取某些值时，不等式的左、右两边不符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式不成立.强调用“≥”表示“>”或“=” ，即两者必居其一，不要求同时满足.例如 ≥0，其中只有“>”成立，“=”就不成立.

　　三、补充练习

　　作业：课本P4习题

　　5分钟练习

　　1.“x的2倍与3的和是非负数”列成不等式为( )

　　A.2x+3≥0 B.2x+3>0 C.2x+3≤0 D.2x+3<0

　　2.几个人分若干个苹果，若每人3个还余5个，若去掉1人，则每人4个还有剩余.设有x个人，可列不等式为_____________________.

　　〖分层作业〗

　　基础知识

　　1.判断下列各式哪些是等式、哪些是不等式、哪些既不是等式也不是不等式.

　　①x+y ②3x>7 ③5=2x+3 ④x2≥0 ⑤2x-3y=1 ⑥52

　　2.用适当符号表示下列关系.

　　(1)a的7 倍与15的和比b的3倍大;