二元一次方程教案

时间：2024-12-01 08:35:04 教案我要投稿

二元一次方程教案

　　作为一名教师，常常需要准备教案，借助教案可以更好地组织教学活动。优秀的教案都具备一些什么特点呢？下面是小编精心整理的二元一次方程教案，希望对大家有所帮助。

二元一次方程教案

二元一次方程教案1

　　一、复习引入

　　1.已知方程x2-ax-3a=0的一个根是6，则求a及另一个根的值.

　　2.由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系.其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系?

　　3.由求根公式可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a.观察两式右边，分母相同，分子是-b+b2-4ac与-b-b2-4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系?

　　二、探索新知

　　解下列方程，并填写表格：

　　方程 x1 x2 x1+x2 x1?x2

　　x2-2x=0

　　x2+3x-4=0

　　x2-5x+6=0

　　观察上面的表格，你能得到什么结论?

　　(1)关于x的方程x2+px+q=0(p，q为常数，p2-4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系?

　　(2)关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1，x2与系数a，b，c之间又有何关系呢?你能证明你的猜想吗?

　　解下列方程，并填写表格：

　　方程 x1 x2 x1+x2 x1?x2

　　2x2-7x-4=0

　　3x2+2x-5=0

　　5x2-17x+6=0

　　小结：根与系数关系：

　　(1)关于x的方程x2+px+q=0(p，q为常数，p2-4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q的'关系是：x1+x2=-p，x1?x2=q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零.)

　　(2)形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论.

　　即：对于方程 ax2+bx+c=0(a≠0)

　　∵a≠0，∴x2+bax+ca=0

　　∴x1+x2=-ba，x1?x2=ca

　　(可以利用求根公式给出证明)

　　例1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：

　　(1)x2-3x-1=0 (2)2x2+3x-5=0

　　(3)13x2-2x=0 (4)2x2+6x=3

　　(5)x2-1=0 (6)x2-2x+1=0

　　例2 不解方程，检验下列方程的解是否正确?

　　(1)x2-22x+1=0 (x1=2+1，x2=2-1)

　　(2)2x2-3x-8=0 (x1=7+734，x2=5-734)

　　例3 已知一元二次方程的两个根是-1和2，请你写出一个符合条件的方程.(你有几种方法?)

　　例4 已知方程2x2+kx-9=0的一个根是-3，求另一根及k的值.

　　变式一：已知方程x2-2kx-9=0的两根互为相反数，求k;

　　变式二：已知方程2x2-5x+k=0的两根互为倒数，求k.

　　三、课堂小结

　　1.根与系数的关系.

　　2.根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程;(2)判别式大于等于零.

　　四、作业布置

　　1.不解方程，写出下列方程的两根和与两根积.

　　(1)x2-5x-3=0 (2)9x+2=x2 (3)6x2-3x+2=0

　　(4)3x2+x+1=0

　　2.已知方程x2-3x+m=0的一个根为1，求另一根及m的值.

　　3.已知方程x2+bx+6=0的一个根为-2，求另一根及b的值

二元一次方程教案2

　　教学目标

　　1．知识与能力目标

　　（1）二元一次方程和一次函数的关系。

　　（2）二元一次方程组的图象解法。

　　（3）通过学生的思考和操作，力图提示出方程与图象之间的关系，引入二元一次方程组的图象解法。同时培养学生初步的数形结合的意识和能力。

　　2．情感态度价值观目标

　　通过学生的自主探索，提示出方程和图象之间的对应关系，加强新旧知识的联系，培养学生的创新意识，激发了学生学习数学的兴趣，使学生体验数学活动充满探索与创造。

　　教材分析

　　前面已经分别学习了一次函数和二元一次方程组，这节课研究二元一次方程组（数）和一次函数（形）的关系，是这两章知识的综合运用。强化了部分与整体的内在联系，知识与知识的内在联系，并为今后解析几何的学习奠定基础。

　　教学重点

　　1、二元一次方程和一次函数的关系。

　　2、能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。

　　教学难点

　　方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力。

　　教学方法

　　学生操作——————自主探索的方法

　　学生通过自己操作和思考，结合新旧知识的联系，自主探索出方程与图象之间的对应关系，以引入二元一次方程组的图象解法，同时也建立了“数”————二元一次方程组和“形”————函数的图象（直线）之间的对应关系，培养了学生数形结合的意识和能力。

　　教学过程

　　一．故事引入

　　迪卡儿的故事——————蜘蛛给予的启示

　　十七世纪法国数学家迪卡儿有一次生病卧床，他看见屋顶上的一只蜘蛛顺着丝左右爬行。迪卡儿看到蜘蛛的“表演”猛的机灵一动。他想，可以把蜘蛛看成一个点，它可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的位置用一组数确定下来呢？

　　在蜘蛛爬行的启示下，迪卡儿创建了直角坐标系，在坐标系下几何图形（形）和方程（数）建立联系。迪卡儿坐标系起到了桥梁和纽带的作用。从而我们可以把图形化成方程来研究，也可以用图象来研究方程。

　　这节课我们就来研究二元一次方程（数）与一次函数（形）的关系。

　　二．尝试探疑

　　1、Y=x+1

　　你们把我叫一次函数，我也是二元一次方程啊！这是怎么回事，你知道吗？

　　学生先是疑惑：方程就是方程，函数就是函数，它们能有什么联系呢？然后通过思考、交流，最后恍然大悟。初步感受一次函数与二元一次方程的内在联系。

　　2、函数y=x+1上的任意一点的坐标是否满足方程x—y=—1？

　　以方程x—y=—1的解为坐标的点在不在函数y=x+1 的图象上？方程x—y=—1与函数y=x+1有何关系？

　　学生会迫不及待地拿起笔来计算。从函数y=x+1图象上找几个点看它们的坐标是否满足方程x—y=—1。结果都满足。然后学生就会自主和同伴交流，问一问同伴函数y=x+1图象上的点满足不满足方程x—y=—1。结果也都满足。这样他们就会搭成共识：函数y=x+1上的任意一点的坐标都满足方程 x—y=—1。

　　然后学生会用同样的方法得出另一个结论：以方程x—y=—1的解为坐标的点一定在函数y=x+1的图象上。然后开始思索函数y=x+1和方程x—y=—1到底有何关系呢？通过交流自动得出结论：以方程x—y=—1的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=x+1的图象相同。

　　3。在同一坐标系下，化出y=x+1与y=4x—2的图象，他们的交点坐标是什么？

　　方程组y=x+1的解是什么？二者有何关系？

　　y=4x—2

　　学生根据画图象的方法画出两函数图象，画出交点坐标。用消元法解出方程组的解。学生会大吃一惊：两者出奇地相近或者干脆就相同。这是怎么回事呢？然后开始探究二者关系。通过交流、讨论得出结论：函数y=x+1和y=4x—2的交点坐标就是由两个函数表达式组成的`方程组

　　y=x+1 的解。

　　Y=4x—2

　　教师作最后总结：因为函数和方程有以上关系，所以我们就可以用图象法解决方程问题，也可以用方程的方法解决图象问题。

　　三．方程与函数关系的应用

　　解方程组 x—2y=—2

　　2x—y=2

　　学生会很快的用消元法解出来。

　　老师发问：谁还有其他的方法？如果有，鼓励学生大胆提出。并给予口头表扬。如果没有人用其他的方法，老师提出问题：你能不能用图象的方法求方程组的解呢？这时，学生就会去探索新的思路、方法。

　　一回忆方程与函数的关系，有了！方程组的解不就是两个方程变形得到的两个函数图象的交点坐标吗？学生就会迅速动笔用这种方法把方程解出来。作完之后，互相交流。学生总结一下做题步骤：

　　1。把两个方程都化成函数表达式的形式。

　　2。画出两个函数的图象。

　　3。画出交点坐标，交点坐标即为方程组的解。

　　问题又出来了，有的同学的解是 x=2 有的同学的解是 x=2。1 y=2。1

　　y=1。9 有的同学的解是……虽然都和消元法得到的结果相近，但各不相同。

　　老师提问：你能说一下用图象法解方程组的不足吗？

　　学生争先恐后的回答：用这种方法求的解是近似值。不准确。学生提出疑问：既然不准确，那学习它有什么用呢？用消元法就足够了！

　　教师解释一下：在现实生活和生产中，我们会遇到特别复杂的方程，用消元法解不太容易，我们就可以用电脑绘制成函数图象，很容易找出交点坐标。教师可以用Z+Z智能教育平台演示一下。

　　[点评]用作图象的方法解方程组，这体现了两个知识点的内在联系。学数学知识，探索知识点之间的联系，可起到化新为旧的作用，达到事半功倍的效果。逐步让学生学会这种学习新知识的技巧。

　　四．引申

　　方程组 x+y=2

　　x+y=5 解的情况如何？你能从函数的角度解释一下吗？

　　学生用消元法开始解方程组，结果无解，怎么回事呢？学生会尝试运用方程组的图象解法。画出两个函数图象。答案有了！图象是平行的，没有交点。所以方程组无解了。哇！太神奇了！方程的问题可以用图象的方法解决了。

　　[点评]因为有了上面的用作图象法解方程组，在这里，学生就会自觉地从函数的角度探究方程的问题，初步具有了数形结合的意识和能力。

　　五．课后小结

　　本节课我们通过操作和思考，揭示了二元一次方程和函数图象之间的对应关系，从而引入二元一次方程组的图象解法，同时也建立了“数”————二元一次方程与“形”——————函数图象之间的对应关系，培养了学生初步的数形结合的意识和能力。

　　六．作业

　　1。用作图象法解方程组2x+y=4

　　2x—3y=12

　　2。如图，直线L、L相交于点 A，试求出A点坐标。

二元一次方程教案3

　　教学目标

　　1．会列二元一次方程组解简单的应用题并能检验结果的合理性。

　　2．提高分析问题、解决问题的能力。

　　3．体会数学的应用价值。

　　教学重点

　　根据实际问题列二元一次方程组。

　　教学难点

　　1．找实际问题中的相等关系。

　　2．彻底理解题意。

　　教学过程

　　一、引入。

　　本节课我们继续学习用二元一次方程组解决简单实际问题。

　　二、新课。

　　例1. 小琴去县城，要经过外祖母家，头一天下午从她家走到个祖母家里，第二天上午，从外外祖母家出发匀速前进，走了2小时、5小时后，离她自己家分别为13千米、25千米。你能算出她的速度吗？还能算出她家与外祖母家相距多远吗？

　　探究： 1. 你能画线段表示本题的数量关系吗？

　　2．填空：（用含S、V的代数式表示）

　　设小琴速度是V千米/时，她家与外祖母家相距S千米，第二天她走2小时趟的'路程是______千米。此时她离家距离是______千米；她走5小时走的路程是______千米，此时她离家的距离是________千米20xx年-20xx学年七年级数学下册全册教案（人教版）教案。

　　3．列方程组。

　　4．解方程组。

　　5．检验写出答案。

　　讨论：本题是否还有其它解法？

　　三、练习。

　　1．建立方程模型。

　　（1）两在相距280千米，一般顺流航行需14小时，逆流航行需20小时，求船在静水中速度，水流的速度

　　（2）420个零件由甲、乙两人制造。甲先做2天后，乙加入合作再做2天完成，乙先做2天，甲加入合作，还需3天完成。问：甲、乙每天各做多少个零件？

　　2．P38练习第2题。

　　3．小组合作编应用题：两个写一方程组，另两人根据方程组编应用题。

　　四、小结。

　　本节课你有何收获？

二元一次方程教案4

　　教学目标：

　　１、会用代入法解二元一次方程组

　　２、会阐述用代入法解二元一次方程组的基本思路——通过“代入”达到“消元”的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。

　　此外，在用代入法解二元一次方程组的知识发生过程中，让学生从中体会“化未知为已知”的重要的数学思想方法。

　　引导性材料：

　　本节课，我们以上节课讨论的求甲、乙骑自行车速度的问题为例，探求二元一次方程组的解法。前面我们根据问题“甲、乙骑自行车从相距６０千米的两地相向而行，经过两小时相遇。已知乙的速度是甲的速度的２倍，求甲、乙两人的速度。”设甲的速度为Ｘ千米／小时，由题意可得一元一次方程２（Ｘ＋２Ｘ）＝６０；设甲的速度为Ｘ千米／小时，乙的速度为Ｙ千米／小时，由题意可得二元一次方程组２（Ｘ＋Ｙ）=６０

　　Y=2X 观察

　　２（Ｘ＋２Ｘ）＝６０与２（Ｘ＋Ｙ）=６０ ①

　　Y=2X ② 有没有内在联系？有什么内在联系？

　　（通过较短时间的观察，学生通常都能说出上面的二元一次方程组与一元一次方程的内在联系——把方程①中的'“Ｙ”用“２Ｘ”去替换就可得到一元一次方程。）

　　知识产生和发展过程的教学设计

　　问题１：从上面的二元一次方程组与一元一次方程的内在联系的研究中，我们可以得到什么启发？把方程①中的“Ｙ”用“２Ｘ”去替换，就是把方程②代入方程①，于是我们就把一个新问题（解二元一次方程组）转化为熟悉的问题（解一元一次方程）。

　　解方程组２（Ｘ＋Ｙ）=６０ ①

　　Y=2X ②

　　解：把②代入①得：

　　２（Ｘ＋２Ｘ）＝６０，

　　６Ｘ＝６０，

　　Ｘ＝１０

　　把Ｘ＝１０代入②，得

　　Ｙ＝２０

　　因此：Ｘ＝１０

　　Ｙ＝２０

　　问题２：你认为解方程组２（Ｘ＋Ｙ）=６０ ①

　　Y=2X ② 的关键是什么？那么解方程组

　　Ｘ＝２Ｙ＋１

　　２Ｘ—３Ｙ＝４的关键是什么？求出这个方程组的解。

　　上面两个二元一次方程组求解的基本思路是：通过“代入”，达到消去一个未知数（即消元）的目的，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解二元一次方程组的方法叫“代入消元法”，简称“代入法”。

　　问题３：对于方程组２Ｘ＋５Ｙ＝－２１ ①

　　Ｘ＋３Ｙ＝８ ② 能否像上述两个二元一次方程组一样，把方程组中的一个方程直接代入另一个方程从而消去一个未知数呢？

　　（说明：从学生熟悉的列一元一次方程求解两个未知数的问题入手来研究二元一次方程组的解法，有利于学生建立新旧知识的联系和培养良好的学习习惯，使学生逐步学会把一个还不会解决的问题转化为一个已经会解决的问题的思想方法，对后续的解三无一次方程组、一元二次方程、分式方程等，学生就有了求解的策略。）

　　例题解析

　　例：用代入法将下列解二元一次方程组转化为解一元一次方程：

　　（１）Ｘ＝１－Ｙ ①

　　３Ｘ＋２Ｙ＝５ ②

　　将①代入②（消去Ｘ）得：

　　３（１－Ｙ）＋２Ｙ＝５

　　（２）５Ｘ＋２Ｙ－２５.２＝０ ①

　　３Ｘ－５＝Ｙ ②

　　将②代入①（消去Ｙ）得：

　　５Ｘ＋２（３Ｘ－５）－２５.２＝０

　　（３）２Ｘ＋Ｙ＝５ ①

　　３Ｘ＋４Ｙ＝２ ②

　　由①得Ｙ＝５－２Ｘ，将Ｙ＝５－２Ｘ代入②消去Ｙ得：

　　３Ｘ＋４（５－２Ｘ）＝２

　　（４）２Ｓ－Ｔ＝３ ①

　　３Ｓ＋２Ｔ＝８ ②

　　由①得Ｔ＝２Ｓ－３，将Ｔ＝２Ｓ－３代入②消去Ｔ得：

　　３Ｓ＋２（２Ｓ－３）＝８

　　课内练习：

　　解下列方程组。

　　（１）２Ｘ＋５Ｙ＝－２１（２）３Ｘ－Ｙ＝２

　　Ｘ＋３Ｙ＝８３Ｘ＝１１－２Ｙ

　　小结：

　　１、用代入法解二元一次方程组的关键是“消元”，把新问题（解二元一次方程组）转化为旧知识（解一元一次方程）来解决。

　　２、用代入法解二元一次方程组，常常选用系数较简单的方程变形，这用利于正确、简捷的消元。

　　３、用代入法解二元一次方程组，实质是数学中常用的重要的“换元”，比如在求解例（１）中，把①代入②，就是把方程②中的元“Ｘ”用“１－Ｙ”去替换，使方程②中只含有一个未知数Ｙ。

　　课后作业：

　　教科书第１４页练习题２（１）、（２）题，第１５页习题５.2A组２（１）、（２）、（４）题。

二元一次方程教案5

　　教学目标

　　1.使学生会用加减法解二元一次方程组。

　　2.学生通过解决问题，了解代入法与加减法的共性及个性。

　　重点：探寻用加减法解二元一次的方程组的进程。

　　难点：消元转化的.过程

　　教学方法：讲练结合、探索交流课型新授课教具投影仪

　　教师活动：学生活动

　　情景设置：

　　小明买了两份水果，一份是3kg苹果、2kg香蕉，共用去13.2元;另一份是2kg苹果、5kg香蕉，共用去19.8元。设苹果x元/kg，香蕉y元/kg.列出方程。

　　新课讲解：

　　列出方程组

　　1.解方程组

　　分析：关键的出方程〈1〉中的2y与方程〈2〉中的-2y互为相反数。想象出如果相加两个方程，会是什么结果?

　　板演：

　　解：〈1〉+〈2〉得：

　　4x=6

　　把x= 代入〈1〉得

　　+2y=1

　　解出这个方程，得

　　所以原方程组的解是

　　2.解方程组

　　通过议一议，让学生都有感觉消去含x或y的项都可以，但哪个更简便?

　　解：〈1〉 3，得

　　15x-6y=12 〈3〉

　　〈2〉 2，得

　　4x-6y=-10 〈4〉

　　〈3〉-〈4〉，得

　　11x=22

　　x=2

　　将x=2代入〈1〉，得

　　5 2-2y=4

　　y=3

　　所以原方程组的解是

　　加减消元法：把方程组的两个防城(或先作适当变形)相加或相减，消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。

　　练一练：

　　解方程组

　　小结：

　　加减消元法关键是如何消元，化二元为一元。

　　先观察后确定消元。

　　教学素材：

　　A组题：解下列方程组：

　　(1)

　　(2)

　　(3)

　　(4)

　　(5)

　　B组题：运用转化的思想方法，你能解下面的三元一次方程组吗?

　　(1)

　　(2)

　　学生读题，议一议

　　学生想一想，如感到困难则看道简单题。

　　由学生观察，如何求出x,y的值，学生再讨论。

　　试一试。学生口述。

　　老师板演

　　得到一元一次方程

　　学生再观察，议一议

　　①消去哪个未知数

　　②怎样消去?

　　P112 1(1)(2)(3)(4)

　　作业习题11.3 P112 1(3)(4) 3 , 4

二元一次方程教案6

　　教学目标：

　　1. 认识二元一次方程和二元一次方程组.

　　2. 了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解.

　　教学重点：

　　理解二元一次方程组的解的意义.

　　教学难点：

　　求二元一次方程的正整数解.

　　教学过程：

　　篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少?

　　思考：

　　这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件?设胜的场数是x，负的.场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗?

　　由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：

　　胜的场数+负的场数=总场数，

　　胜场积分+负场积分=总积分.

　　这两个条件可以用方程

　　x+y=22

　　2x+y=40

　　表示.

　　上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数(x和y)，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.

　　把两个方程合在一起，写成

　　x+y=22

　　2x+y=40

　　像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.

　　探究：

　　满足方程①，且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些?把它们填入表中.

　　上表中哪对x、y的值还满足方程②

　　一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.

　　二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

　　例1 (1)方程(a+2)x +(b-1)y = 3是二元一次方程，试求a、b的取值范围.

　　(2)方程x∣a∣ – 1+(a-2)y = 2是二元一次方程，试求a的值.

　　例2 若方程x2 m –1 + 5y3n – 2 = 7是二元一次方程.求m、n的值

　　例3 已知下列三对值：

　　x=-6 x=10 x=10

　　y=-9 y=-6 y=-1

　　(1) 哪几对数值使方程 x-y=6的左、右两边的值相等?

　　(2) 哪几对数值是方程组的解?

　　例4 求二元一次方程3x+2y=19的正整数解.

　　课堂练习：

　　教科书第102页练习

　　习题8.1 1、2题

　　作业：

　　教科书第102页3、4、5题

二元一次方程教案7

　　一、内容和内容解析

　　1.内容

　　代入消元法解二元一次方程组

　　2.内容解析

　　二元一次方程组是解决含有两个提供运算未知数的问题的有力工具，也是解决后续一些数学问题的基础。其解法将为解决这些问题的工具。如用待定系数法求一次函数解析式，

　　在平面直角坐标系中求两直线交点坐标等.

　　解二元一次方程组就是要把二元化为一元。而化归的方法就是代入消元法，这一方法同样是解三元一次方程组的基本思路，是通法。化归思想在本节中有很好的体现。

　　本节课的教学重点是：会用代入消元法解一些简单的二元一次方程组，体会解二元一次方程组的思路是消元.

　　二、目标和目标解析

　　1.教学目标

　　(1)会用代入消元法解一些简单的二元一次方程组

　　(2)理解解二元一次方程组的思路是消元，体会化归思想

　　2.教学目标解析

　　(1)学生能掌握代入消元法解一些简单的二元一次方程组的一般步骤，并能正确求出简单的'二元一次方程组的解，

　　(2)要让学生经历探究的过程.体会二元一次方程组的解法与一元一次方程的解法的关系，进一步体会消元思想和化归思想

　　三、教学问题诊断分析

　　1.学生第一次遇到二元问题，为什么要向一元转化，如何进行转化。需要结合实际问题进行分析。由于方程组的两个方程中同一个未知数表示的是同一数量，通过观察对照，可以发现二元一次方程组向一元一次方程转化的思路

　　2.解二元一次方程组的步骤多，每一步需要理解每一步的目的和依据，正确进行操作，把探究过程分解细化，逐一实施。

　　本节教学难点理：把二元向一元的转化，掌握代入消元法解二元一次方程组的一般步骤。

　　四、教学过程设计

　　1.创设情境，提出问题

　　问题1

　　篮球联赛中，每场都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少?你能用一元一次方程解决这个问题吗?

　　师生活动：学生回答：能。设胜x场，负(10-x)场。根据题意，得2x+(10-x)=16

　　x=6,则胜6场，负4场

　　教师追问：你能根据问题中的等量关系列出二元一次方程组吗?

　　师生活动：学生回答：能.设胜x场，负y场.根据题意，得

　　我们在上节课，通过列表找公共解的方法得到了这个方程组的解，x=6,y=4.显然这样的方法需要一个个尝试，有些麻烦，能不能像解一元一次方程那样来求出方程组的解呢?

　　这节课我们就来探究如何解二元一次方程组.

　　设计意图：用引言的问题引人本节课内容，先列一元一次方程解决这个问题，再二元一次方程组，为后面教学做好了铺垫.

　　问题2 对比方程和方程组，你能发现它们之间的关系吗?

　　师生活动：通过对实际问题的分析，认识方程组中的两个y都是这个队的负场数，由此可以由一个方程得到y的表达式，并把它代入另一个方程，变二元为一元，把陌生知识转化为熟悉的知识。

　　师生活动：根据上面分析，你们会解这个方程组了吗?

　　学生回答：会.

　　由①,得y=10-x ③

　　把③代入②,得2x+(10-x)=16 x=6

　　设计意图：共同探究，体会消元的过程.

　　问题3 教师追问：你能把③代入①吗?试一试?

　　师生活动：学生回答：不能，通过尝试，x抵消了.

　　设计意图：由于方程③是由方程①,得来的，它不能又代回到它本身。让学生实际操作，得到体验，更好地认识这一点.

　　教师追问：你能求y的值吗?

　　师生活动：学生回答：把x=6代入③得y=4

　　教师追问：还能代入别的方程吗?

　　学生回答：能，但是没有代入③简便

　　教师追问：你能写出这个方程组的解，并给出问题的答案吗?

　　学生回答：x=6,y=4,这个队胜6场，负4场

　　设计意图：让学生考虑求另一个未知数的过程，并如何优化解法。

　　师生活动:先让学生独立思考，再追问.在这种解法中，哪一步最关键?为什么?

　　学生回答：代入这一步

　　教师总结:这种方法叫代入消元法。

　　教师追问：你能先消x吗?

　　学生纷纷动手完成。

　　设计意图：让学生尝试不同的代入消元法，为后面学习选择简单的代入方法做铺垫.

　　2. 应用新知,拓展思维

　　例用代入法解二元一次方程组

　　师生活动,把学生分两组，一组先消x, 一组先消y,然后每组各派一名代表上黑板完成。

　　设计意图：借助本题，充分发挥学生的合作探究精神，通过比较，让学生自主认识代入消元法，并学会优选解法.

　　3.加深认识，巩固提高

　　练习用代入法解二元一次方程组

　　设计意图：提醒并指导学生要先分析方程组的结构特征，学会优选解法。在练习的基础上熟练用代入消元法解二元一次方程组.

　　4.归纳总结，知识升华

　　师生活动，共同回顾本节课的学习过程，并回答以下问题

　　1. 代入消元法解二元一次方程组有哪些步骤?

　　2. 解二元一次方程组的基本思路是什么?

　　3.在探究解法的过程中用到了哪些思想方法?

　　4.你还有哪些收获?

　　设计意图：通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识;培养学生自我归纳概括的能力.

　　5. 布置作业

　　教科书第93页第2题

　　五、目标检测设计

　　用代入法解下列二元一次方程组

　　设计意图：考查学生对代入法解二元一次方程组的掌握情况.

二元一次方程教案8

　　教学建议

　　一、重点、难点分析

　　本节的教学重点是使学生学会用代入法．教学难点在于灵活运用代入法，这要通过一定数量的练习来解决；另一个难点在于用代入法求出一个未知数的值后，不知道应把它代入哪一个方程求另一个未知数的值比较简便．

　　解二元一次方程组的关键在于消元，即将“二元”转化为“一元”．我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解．

　　二、知识结构

　　三、教法建议

　　1．关于检验方程组的解的问题．教材指出：“检验时，需将所求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是不是相等．”教学时要强调“原方程组”和“每一个”这两点．检验的作用，一是使学生进一步明确代入法是求方程组的解的一种基本方法，通过代入消元的确可以求得方程组的解二是进一步巩固二元一次方程组的解的概念，强调

　　这一对数值才是原方程组的解，并且它们必须使两个方程左、右两边的值都相等；三是因为我们没有用方程组的同解原理而是用代换（等式的传递）来解方程组的，所以有必要检验求出来的这一对数值是不是原方程组的解；四是为了杜绝变形和计算时发生的错误．检验可以口算或在草稿纸上演算，教科书中没有写出．

　　2．教学时，应结合具体的例子指出这里解二元一次方程组的关键在于消元，即把“二元”转化为“一元”．我们是通过等量代换的方法，消去一个未知数，从而求得原方程组的解．早一些指出消元思想和把“二元”转化为“一元”的方法，这样，学生就能有较强的目的性．

　　3．教师讲解例题时要注意由简到繁，由易到难，逐步加深．随着例题由简到繁，由易到难，要特别强调解方程组时应努力使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易．这样不仅可以求解迅速，而且可以减少错误．

　　一、素质教育目标

　　（一）知识教学点

　　1．掌握用代入法解二元一次方程组的`步骤．

　　2．熟练运用代入法解简单的二元一次方程组．

　　（二）能力训练点

　　1．培养学生的分析能力，能迅速在所给的二元一次方程组中，选择一个系数较简单的方程进行变形．

　　2．训练学生的运算技巧，养成检验的习惯．

　　（三）德育渗透点

　　消元，化未知为已知的数学思想．

　　（四）美育渗透点

　　通过本节课的学习，渗透化归的数学美，以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美．

　　二、学法引导

　　1．教学方法：引导发现法、练习法，尝试指导法．

　　2．学生学法：在前面已经学过一元一次方程的解法，求二元一次方程组的解关键是化二元方程为一元方程，故在求解过程当中始终应抓住消元的思想方法．

　　三、重点、难点、疑点及解决办法

　　（－）重点

　　使学生会用代入法解二元一次方程组．

　　（二）难点

　　灵活运用代入法的技巧．

　　（三）疑点

　　如何“消元”，把“二元”转化为“一元”．

　　（四）解决办法

　　一方面复习用一个未知量表示另一个未知量的方法，另一方面学会选择用一个系数较简单的方程进行变形：

　　四、课时安排

　　一课时．

　　五、教具学具准备

　　电脑或投影仪、自制胶片．

　　六、师生互动活动设计

　　1．教师设问怎样用一个未知量表示另一个未知量，并比较哪种表示形式更简单，如等．

　　2．通过课本中香蕉、苹果的应用问题，引导学生列出一元一次方程或二元一次方程组，并通过比较、尝试，探索出化二元为一元的解方程组的方法．

　　3．再通过比较、尝试，探索出选一个系数较简单的方程变形，通过代入法求方程组解的办法更简便，并寻找出求解的规律．

　　七、教学步骤

　　（－）明确目标

　　本节课我们将学习用代入法求二元一次方程组的解．

　　（二）整体感知

　　从复习用一个未知量表达另一个未知量的方法，从而导入运用代入法化二元为一元方程的求解过程，即利用代入消元法求二元一次方程组的解的办法．

　　（三）教学步骤

　　1．创设情境，复习导入

　　（1）已知方程，先用含的代数式表示，再用含的代数式表示．并比较哪一种形式比较简单．

　　（2）选择题：

　　二元一次方程组的解是

　　A． B． C． D．

　　第（1）题为用代入法解二元一次方程组打下基础；第（2）题既复习了上节课的重点，又成为导入新课的材料．

　　通过上节课的学习，我们会检验一对数值是否为某个二元一次方程组的解．那么，已知一个二元一次方程组，应该怎样求出它的解呢？这节课我们就来学习．

　　这样导入，可以激发学生的求知欲．

　　2．探索新知，讲授新课

　　香蕉的售价为5元/千克，苹果的售价为3元/千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克？

　　学生活动：分别列出一元一次方程和二元一次方程组，两个学生板演．

　　设买了香蕉千克，那么苹果买了千克，根据题意，得

　　设买了香蕉千克，买了苹果千克，得

　　上面的一元一次方程我们会解，能否把二元一次方程组转化为一元一次方程呢，由方程①可以得到 ③，把方程②中的转换成，也就是把方程③代入方程②，就可以得到．这样，我们就把二元一次方程组转化成了一元一次方程，由这个方程就可以求出了．

　　解：由①得： ③

　　把③代入②，得：

　　∴

　　把代入③，得：

　　∴

　　解二元一次方程组与解一元一次方程相比较，向学生展示了知识的发生过程，这对于学生知识的形成十分重要．

　　上面解二元一次方程组的方法，就是代入消元法．你能简单说说用代入法解二元一次方程组的基本思路吗？

　　学生活动：小组讨论，选代表发言，教师进行指导．纠正后归纳：设法消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程．

　　例1 解方程组

　　（1）观察上面的方程组，应该如何消元？（把①代入②）

　　（2）把①代入②后可消掉，得到关于的一元一次方程，求出．

　　（3）求出后代入哪个方程中求比较简单？（①）

　　学生活动：依次回答问题后，教师板书

　　解：把①代入②，得

　　∴

　　把代入①，得

　　∴

　　如何检验得到的结果是否正确？

　　学生活动：口答检验．

　　教师：要把所得结果分别代入原方程组的每一个方程中．

　　给出例1后提出的三个问题，恰好是学生的思维过程，明确了解题思路；教师板演例1，规范了解二元一次方程组的解题格式；通过检验，可使学生养成严谨认真的学习习惯．

　　例2 解方程组

　　要把某个方程化成如例1中方程①的形式后，代入另一个方程中才能消元．方程②中的系数是1，比较简单．因此，可以先将方程②变形，用含的代数式表示，再代入方程①求解．

　　学生活动：尝试完成例2．

　　教师巡视指导，发现并纠正学生的问题，把书写过程规范化．

　　解：由②，得 ③

　　把③代入①，得

　　∴

　　把代入③，得

　　∴

　　检验后，师生共同讨论：

　　（1）由②得到③后，再代入②可以吗？（不可以）为什么？（得到的是恒等式，不能求解）

　　（2）把代入①或②可以求出吗？（可以）代入③有什么好处？（运算简便）

　　学生活动：根据例1、例2的解题过程，尝试总结用代入法解二元一次方程组的一般步骤，讨论后选代表发言．之后，看课本第12页，用几个字概括每个步骤．

　　教师板书：

　　（1）变形（）

　　（2）代入消元（）

　　（3）解一元一次方程得（）

　　（4）把代入求解

　　练习：P13 1．（1）（2）；P14 2．（1）（2）．

　　3．变式训练，培养能力

　　①由可以得到用表示．

　　②在中，当时，；当时，，则；．

　　③选择：若是方程组的解，则（）

　　A． B． C． D．

　　（四）总结、扩展

　　1．解二元一次方程组的思想：

　　2．用代入法解二元一次方程组的步骤．

　　3．用代入法解二元一次方程组的技巧：①变形的技巧②代入的技巧．

　　通过这节课的学习，我们要熟练运用代入法解二元一次方程组，并能检验结果是否正确．

　　八、布置作业

　　（一）必做题：P15 1．（2）（4），2．（1）（2）（3）（4）．

　　（二）选做题：P15 B组1．

二元一次方程教案9

　　教学目标

　　1、弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它们的解的含义，并会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解;

　　2、学会用类比的方法迁移知识;体验二元一次方程组在处理实际问题中的优越性，感受数学的乐趣.

　　教学难点弄懂二元一次方程组解的含义。

　　知识重点二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义。

　　教学过程(师生活动)

　　设计理念

　　创设情境

　　导入课题幻灯：古老的“鸡兔同笼问题”

　　“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问鸡、兔各几何?”

　　师：这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题.它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣.怎样来解答这个问题呢?

　　学生思考自行解答，教师巡视.最后，在学生动手动脑的基础上，班级集体讨论给出各种解决方案.

　　方案一：算术方法

　　把兔子都看成鸡，则多出94-35×2=24只脚，每只兔子比鸡多出两只脚，故，由此可先求出兔子有24÷2=12只，

　　进而鸡有35-12=23只.

　　或类似的也可以先求鸡的数量.

　　35×4-94=46，46÷2=23

　　方案二：列一元一次方程解

　　设有x只鸡，则有(35-x)只兔.根据题意，得

　　2x十4(35-x)=94.

　　(解方程略)

　　教师不失时机地复习一元一次方程的有关概念，“元”是指什么?“次”是指什么?以古老的数学名题引入，可以增强学生的民族自豪感，激发学好数学的感情

　　能用方案本来解的学生算术功底比较好，应给予高度赞赏.

　　方案二既是对一元一次方程的复习与巩固，又为二元一次方程组的引出做好铺垫在。

　　分析问题(一)讨论二元一次方程、二元一次方程组的概念

　　师：上面的问题可以用一元一次方程来解，还有其他方法吗?(若学生想不到，教师要引导学生，要求的是两个未知数，能否设两个未知数列方程求解呢?让学生自己设未知数，列方程)

　　方案三：设有x只鸡，y只兔，依题意得

　　x+y=35，①

　　2x+4y=94.②

　　针对学生列出的这两个方程，提出如下问题：

　　(1)、你能给这两个方程起个名字吗?

　　(2)为什么叫二元一次方程呢?

　　(3)什么样的方程叫二元一次方程呢?

　　结合学生的回答，教师板书定义1：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程，叫做二元一次方程.

　　师：在上面的问题中，鸡、兔的只数必须同时满足①②两个方程.把①②两个二元一次方程结合在一起，用花括号来连接.我们也给它起个名字，叫什么好呢?

　　定义2：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.

　　(二)讨论二元一次方程、二元一次方程组的解的概念

　　探究活动：满足x+y=35的值有哪些?请填入表中：

　　教师启发：

　　(1)若不考虑此方程与上面实际问题的联系，还可以取哪些值?

　　(2)你能模仿一元一次方程的解给二元一次方程的解下定义吗?

　　(3)它与一元一次方程的解有什么区别?

　　定义3：使二元一次方程两边相等的两个未知数的值，叫二元一次方程的解，记为

　　师：那么什么是二元一次方程组的解呢?

　　学生讨论达成共识：二元一次方程组的解必须同时满足方程组中的两个方程.即：既是方程①又是方程②的解.

　　定义4：二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解.

　　比如：从方案一，我们知道，x=23，y=12使方程组中每一个方程成立.所以我们把x=23，y=12叫做

　　的解记为：

　　注意：二元一次方程组的解是成对出现的，用花括号来连接，表示“且”.

　　议一议：将上述“鸡兔同笼”问题的三种方案进行优劣对比，你有哪些想法呢?

　　引导学生利用一元一次方程进行知识的迁移与奚比，让学生用原有的认知结构去同化新知识，符合建构主义理念

　　通过探究活动得出结论：

　　1、二元一次方程的解是成对出现的;2、二元一次方程的解有无

　　数多个.这与一元一次方程有显

　　著的区别.

　　通过对比，让学生体脸到从算术方法到代数方法是一种进步.而当我们遇到求多个未知量，而且数量关系较复杂时，列二元一次方程组比列一元一次方程容易，它大大减轻了我们的思维负担.

　　巩固新知例1下列各对数值中是二元一次方程x+2y=2的解是()

　　ABCD

　　解法分析：

　　将A、B,C,D中各对数值逐一代人方程检验是否满足方程，选A,B,C.

　　变式：其中是二元一次方程组解是()

　　解法分析：

　　在例1的基础上，进一步检验A、B、C中各对值是否满足方程2x+y=-2，使学生明确认识到二元一次方程组的解必须同时满足两个方程.

　　例2(教材102页练习)

　　解答过程略

　　本例先检验二元一次方程的解，再检脸二元一次方程组的解，符合从简单到复杂的认知规律.使学生更深刻地理解二元一次方程组的解的概念.

　　目的在于培养分析等量关系并列方程组的能力;培养观察估算能力;使学生进一步熟悉二元一次方程组及其解的概

　　小结提高在学生畅所欲言话收获的基础上，通过老师进行补充的方式进行.

　　本节课学习了哪些内容?你有哪些收获?

　　(什么叫二元一次方程?什么叫二元一次方程组?什么叫二元一次方程组的解?)发挥学生主体意识，培养学生归纳小结的能力。

　　布置作业1、必做题：教科书102页习题8.1第1、2题.

　　2、选做题：教科书102页习题8.1第3题.

　　3、备选题：

　　(1)根据下列语句，列出二元一次方程：

　　①甲数的一半与乙数的的和为11

　　②甲数和乙数的2倍的差为17

　　(2)方程x+2y=7在自然数范围内的`解()

　　A有无数个B有一个C有两个D有三个

　　(3)若mx+y=1是关于x,y的二元一次方程，那么m

　　的值应是()

　　A.m≠OB.m=0C.m是正有理数D.m是负有理数

　　(4)李平和张力从学校同时出发到郊区某公园游玩，两人从出发到回来所用的时间相同，但是，李平游玩的时间是张力骑车时间的4倍，而张力游玩的时间是李平骑车时间的5倍，请问他俩人中谁骑车的速度快?

　　不同层次的学生根据自身的需要选择不同的备用题，实现不同的人在数学上获得不同的发展的教学理念.

　　本课教育评注(课堂设计理念，实际教学效果及改进设想)

　　本课的设计是从提出“鸡兔同笼”的求解问题人手，激发学生的学习兴趣与民族自豪感，让学生经历从不同角度寻求不同的解决方法的过程，体现出解决问题策略的多样性，激发了学生的学习兴趣.以算术的方法衬托出方程解法的优越性，以列一元一次方程解法衬托出列二元一次方程组解法的优越性，更使学生感到二元一次方程组的引人顺理成章.

　　本课内容是在学生已经掌握了一元一次方程的基础知识，初步具有提取数学信息、解决实际问题的能力后展开的.根据建构主义理念，学生完全有能力利用自己原有的知识去同化新知识，主动地将其纳人自己的知识体系中.所以本课的通篇整体设计，突出了一元一次方程的样板作用，让学生在类比中，主动迁移知识，建立起新的概念.使得基础知识和基本技能在学生头脑中留下较深刻的印象是很有必要的。

二元一次方程教案10

　　教学目标1、经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型；

　　2、能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程组；

　　3、学会开放性地寻求设计方案，培养分析

　　教学难点用方程组刻画和解决实际问题的过程。

　　知识重点经历和体验用方程组解决实际问题的过程。

　　教学过程（师生活动）设计理念

　　创设情境前面我们初步体验了用方程组解决实际问题的全过程，其实生产、生活中还有许多问题也能用方程组解决．

　　（出示问题）据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：1：5，现要在一块长200 m，宽100 m的长方形土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量的比是3：4(结果取整数)？以学生身边的实际问题展开学习，突出数学与现实的联系，培养学生用数学的意识。

　　探索分析

　　研究策略以上问题有哪些解法？

　　学生自主探索，合作交流，整理思路：

　　(1)先确定有两种方法分割长方形；再分别求出两个小长方形的面积；最后计算分割线的位置．

　　(2)先求两个小长方形的面积比，再计算分割线的位置．

　　(3)设未知数，列方程组求解．

　　……

　　学生经讨论后发现列方程组求解较为方便．多角度分析问题，多策略解决问题，提高思维的发散性。

　　合作交流

　　解决问题引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路

　　（1）设未知数

　　（2）找相等关系

　　（3）列方程组

　　（4）检验并作答

　　如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形aefd和bcfe.设ae=xm，be=ym，根据问题中涉及长度、产量的数量关系，列方程组

　　解这个方程组得

　　过长方形土地的长边上离一端约106 m处，把这块地分

　　为两个长方形．较大一块地种甲作物，较小一块地种乙作物．

　　你还能设计别的种植方案吗？

　　用类似的方法，可沿平行于线段ab的方向分割长

　　方形．

　　教师巡视、指导，师生共同讲评．

　　比较分析，加深对方程组的认识。

　　画图，数形结合，辅助学生分析。

　　进一步渗透模型化的思想。

　　引发学生思考，寻求解决途径。

　　拓展探究

　　综合应用学生在手工实践课中，遇到这样一个问题：要用20张白卡纸制作包装纸盒，每张白卡纸可以做盒身2个，或者做盒底盖3个，如果1个盒身和2个盒底盖可以做成一个包装纸盒，那么能否将这些白卡纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？请你设计一种分法．

　　按以下步骤展开问题的讨论：

　　（l）学生独立思考，构建数学模型．

　　(2)小组讨论达成共识．

　　（3）学生板书讲解．

　　（4）对方程组的解进行探究和讨论，从而得到实际问题的结果．

　　(5)针对以上结论，你能再提出几个探索性问题吗？以学生学习生活中遇到的

　　问题展开讨论，巩固用二元一次

　　方程组解决实际问题的一般过程，并不断提高分析问题的能力．安排开放题，以利于培养学生探索精神和创新意识．

　　小结与作业

　　小结提高提问：通过本节课的讨论，你对用方程解决实际的方法又有何新的认识？

　　学生思考后回答、整理．

　　布置作业12、必做题：教科书116页习题8.3第1（2）、4题。

　　13、选做题：教科书117页习题8.3第7题。

　　14、备15、选题：

　　（3）解方程组

　　（2）小颖在拼图时，发现8个一样大小的矩形（如图1所示），恰好可以拼成一个大的.矩形．

　　小彬看见了，说：“我来试一试．”结果小彬七拼八凑，拼成如图2那样的正方形．咳，怎么中间还留下一个洞，恰好是边长2 mm的小正方形！

　　你能帮他们解开其中的奥秘吗？

　　提示学生先动手实践，再分析讨论．

　　分层次布1作业．其中“必

　　做题”面向全体学生，巩固知识、

　　方法，加深理解厂选做题”面向

　　部分学有余力的学生，给他们一

　　定的时间和空间，相互合作，自主探究，增强实践能力．备选通供教师参考．

　　本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）

　　本课所提供的例题、练习题、作业题突出体现以下特点：

　　1、活动性．学生在图形分割、手工操作、拼图游戏中展开数学问题的讨论，更具趣味性，学生在玩中学、做中学，在增强能力的同时，收获快乐．

　　2、探索性．问题解决的策略不易获得，问题中的数量关系不易发现，问题中的未知数不

　　易设定，这为学生开展探究活动提供了机会．

　　3、开放性．解决问题的策略、方法、问题的结论的开放性设计，意在增强学生的创新意识和培养勇于挑战、克服困难的能力．

二元一次方程教案11

　　教学目的

　　1.使学生了解二元一次方程，二元一次方程组的概念。

　　2.使学生了解二元一次方程;二元一次方程组的解的含义，会检验一对数是不是它们的解。

　　3.通过引例的教学，使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性。

　　重点：了解二元一次方程、二元一次方程组以及二元一次方程组的解的含

　　难点;了解二元一次方程组的解的含义。

　　导学提纲：

　　1.什么叫一元一次方程?什么叫一元一次方程的解?怎样检验一个数是否是这个方程的解?

　　2.阅读教材问题1思考下列问题

　　⑴.能否用我们已经学过的知识来解决这个问题?

　　用算术法解答

　　用一元一次方程解答

　　解后反思：既然是求两个未知量，那么能不能同时设两个未知数?

　　⑵.此问题中有两个问题如果分别设为x、y，怎样列式呢?(完成教材中的表格)

　　⑶.对于方程x十y=73x+y=17请思考下列问题

　　①它们是一元一次方程吗?

　　②这两个方程有没有共同特点/若有，有河共同特点?

　　③类比一元一次方程的概念，总结二元一次方程的概念

　　3.从教材中找出二元一次方程和二元一次方程组的概念(结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的解释)

　　注意二元一次方程组的书写方式，方程组中的各方程中,同一个字母必须代表同一个量

　　4.与是否满足方程①与是否满足方程②类比一元一次方程的解总结二元一次方程组的解的概念

　　注意:(1)未知数的值必须同时满足两个方程时,才是方程组的解.若取,时,它们能满足方程①,但不满足方程②,所以它们不是方程组的解.

　　(2)二元一次方程组的解是一对数,而不是一个数,所以必须把与合起来,才是方程组的解.

　　5.思考讨论在方程组①②③④

　　⑤⑥中，属于二元一次方程组的.有

　　达标检测：

　　1.根据下列语句,分别设适当的未知数,列出二元一次方程或方程组:

　　(1)甲数的比乙数的2倍少7:_____________________________;

　　(2)摩托车的时速是货车的倍，它们的速度之和是200千米/时:________;

　　(3)某种时装的价格是某种皮装的价格的1.4倍,5件皮装比3件时装贵700元:______________________________.

　　2.下列方程是二元一次方程的是()

　　A、2x+x=1B、x-3yC、x+x-3=0D、x+y=2

　　3.下列不是二元一次方程组的是()

　　x+3y=5m+3m=152x+3x=0m+n=5

　　A、B、C、D、

　　2x-3x=3+=3-5y=02m+n=6

　　x=2

　　4.在方程3x-ky=0中，如果是它的一个解，则k的值为_______.

　　y=-3

　　5.若mxy+9x+3y=-9是关于x、y的二元一次方程，则m=_______n=_______.

二元一次方程教案12

　　一．教学目标：

　　1．认知目标：

　　1）了解二元一次方程组的概念。

　　2）理解二元一次方程组的解的概念。

　　3）会用列表尝试的方法找二元一次方程组的解。

　　2．能力目标：

　　1）渗透把实际问题抽象成数学模型的思想。

　　2）通过尝试求解，培养学生的探索能力。

　　3．情感目标：

　　1）培养学生细致，认真的学习习惯。

　　2）在积极的教学评价中，促进师生的情感交流。

　　二．教学重难点

　　重点：二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念。

　　难点：把一个二元一次方程形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，其实质是解一个含有字母系数的方程。

　　三．教学过程

　　(一)创设情景，引入课题

　　1.本班共有40人，请问能确定男女生各几人吗？为什么？

　　（1）如果设本班男生x人，女生y人，用方程如何表示？(x+y=40)

　　（2）这是什么方程？根据什么？

　　2.男生比女生多了2人。设男生x人,女生y人.方程如何表示？ x，y的值是多少？

　　3.本班男生比女生多2人且男女生共40人.设该班男生x人,女生y人。方程如何表示?

　　两个方程中的x表示什么？类似的两个方程中的y都表示？

　　像这样，同一个未知数表示相同的量，我们就应用大括号把它们连起来组成一个方程组。

　　4.点明课题:二元一次方程组。

　　（设计意图：从学生身边取数据,让他们感受到生活中处处有数学）

　　（二）探究新知，练习巩固

　　1．二元一次方程组的概念

　　（1）请同学们看课本,了解二元一次方程组的的概念，并找出关键词由教师板书。

　　[让学生看书,引起他们对教材重视。找关键词，加深他们对概念的了解.]

　　（2）练习：判断下列是不是二元一次方程组，学生作出判断并要说明理由。

　　①x2+y=0 ②y=2x+4 ③y+?x ④x=2/y+1 ⑤(x+y)/3-2=0

　　(设计意图：这一环节是本课设计的重点，为加深学生对“含有未知数的项的次数”的内涵的理解，我采取的是阅读书本中二元一次方程的概念，形成学生的认知冲突，激发学生对“项的次数的思考”，进而完善血生对二元一次方程概念的理解。）

　　2．二元一次方程组的解的概念

　　（1）由学生给出引例的答案，教师指出这就是此方程组的解。

　　（2）练习：把下列各组数的题序填入图中适当的位置：

　　方程x+y=0的解，方程2x+3y=2的解，方程组的解。

　　（3）既满足第一个方程也满足第二个方程的解叫作二元一次方程组的解。

　　（4）练习：已知是方程组的解，求a,b的值。

　　（三）合作探索，尝试求解

　　现在我们一起来探索如何寻找方程组的解呢？

　　1.已知两个整数x,y，试找出方程组的解.

　　学生两人一小组合作探索。并让已经找出方程组解的学生利用实物投影，讲明自己的解题思路。

　　一般思路：由一个方程取适当的xy的.值,代到另一个方程尝试.

　　（设计意图：把课堂还给学生,让他们探索并解答问题,在获取新知识的同时也积累数学活动的经验）

　　2.据了解，某商店出售两种不同星号的“红双喜”牌乒乓球。其中“红双喜”二星乒乓球每盒6只，三星乒乓球每盒3只。某同学一共买了4盒，刚好有15个球。

　　(1) 设该同学“红双喜”二星乒乓球买了x盒，三星乒乓球买了y盒，请根据问题中的条件列出关于x、y的方程组。(2)用列表尝试的方法解出这个方程组的解。

　　由学生独立完成，并分析讲解。

　　3.例已知方程3X+2Y=10

　　⑴当X=2时，求所对应的Y 的值；

　　⑵取一个你自己喜欢的数作为X的值，求所对应的Y的值；

　　⑶用含X的代数式表示Y;

　　⑷用含Y 的代数式表示X;

　　⑸当X=-2,0 时，所对应的Y值是多少；

　　（设计意图：此处设计主要是想让学生形成求二元一次方程的解的一般方法，先让学生展示他们的思维过程，再从他们解一元一次方程的重复步骤中提炼出用一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后把它与原方程比较，把一个未知数的值代入哪一个方程计算会更简单，形成“正迁移”，引导学生体会“用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数”的过程。）

　　(四)课堂小结，布置作业

　　1.这节课学哪些知识和方法?

　　2.你还有什么问题或想法需要和大家交流?

　　3.教材P82

　　教学设计说明：

　　1．本课设计主线有两条。其一是知识线，内容从二元一次方程组的概念到二元一次方程组解的概念再到列表尝试法，环环相扣，层层递进；第二是能力培养线，学生从看书理解二元一次方程组的概念到学会归纳解的概念，再到自主探索，用列表尝试法解题，循序渐进，逐步提高。

　　2．“让学生成为课堂的真正主体”是本课设计的主要理念。由学生给出数据，得出结果，再让他们在积极尝试后进行讲解，实现生生互评。把课堂的一切交给学生，相信他们能在已有的知识上进一步学习提高，教师只是点播和引导者。

　　3．本课在设计时对教材也进行了适当改动。例题方面考虑到数码时代，学生对胶卷已渐失兴趣，所以改为学生比较熟悉的乒乓球为体裁。另一方面，充分挖掘练习的作用，为知识的落实打下轧实的基础，为学生今后的进一步学习做好铺垫。

二元一次方程教案13

　　一、学情分析：

　　学生能够正确解方程（组），掌握了一次函数及其图像的基础知识，能够根据已知条件准确画出一次函数图象，已经具备了函数的初步思想，在过去已有经验基础上能够加深对“数”和“形”间的相互转化的认识，有小组合作学习经验．

　　二、学习目标：

　　本节课通过探索“方程”与“函数图像”的关系，培养学生数学转化的思想，通过学习二元一次方程方程组的解与直线交点坐标之间的关系，使学生初步建立了“数”（二元一次方程）与“形”（一次函数的图像）之间的对应关系，进一步培养了学生数形结合的意识和能力．因此确定本节课的教学目标为：

　　1.初步理解二元一次方程和一次函数两种数学模型之间的关系；

　　2.掌握二元一次方程组和对应的两条直线交点之间的关系，通过对两种模型关系的理解解决问题；

　　3.发展学生数形结合的意识和能力，使学生在自主探索中学会不同数学模型间的联系．

　　教学重点

　　二元一次方程和一次函数的关系，二元一次方程组和对应的两条直线交点之间的关系；

　　教学难点

　　通过对数学模型关系的探究发展学生数形结合和数学转化的思想意识．

　　四、教法学法

　　1．教法学法

　　启发引导与自主探索相结合．

　　2．课前准备

　　教具：多媒体课件、三角板．

　　学具：铅笔、直尺、练习本、坐标纸．

　　五、教学过程

　　第一环节: 探究二元一次方程和一次函数两种数学模型之间的关系

　　1. 某水箱有5吨水,若用水管向外排水,每小时排水1吨,则X小时后还剩余Y吨水.

　　（1）请找出自变量和因变量

　　（2）你能列出X,Y的关系式吗?

　　（3） X,Y的取值范围是什么?

　　（4）在平面直角坐标系中画出这个函数的图形.（注意XY的取值范围）.

　　2．（1）方程x+y=5的解有多少个？你能写出这个方程的几个解吗？

　　（2）．在直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数Y=5-X的图象上吗？

　　（3）．在一次函数y=?x?5的图像上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？

　　（4）．以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y=?x?5的图像相同吗？

　　x+y=5与 y=?x?5表示的关系相同

　　一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线．

　　目的：通过设置问题情景，让学生感受方程x+y=5和一次函数y=?x?5相互转化，启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系．

　　前面研究了一个二元一次方程和相应的一个一次函数的关系，现在来研究两个二元一次方程组成的方程组和相应的两个一次函数的关系．顺其自然进入下一环节．

　　第二环节自主探索方程组与一次函数两种数学模型之间的关系

　　探究方程与函数的相互转化

　　1．两个一次函数图象的交点坐标是相应的二元

　　一次方程组的'解

　　（1）一次函数y=5-x图象上点的坐标适合方程x+y=5，那么一次函数y=2x-1图象上点的坐标适合哪个方程？

　　（2）两个函数的交点坐标适合哪个方程？

　　?x?y?5（3）．解方程组?验证一下你的发现。 2x?y?1?

　　练习：随堂练习1 。巩固由一次函数的交点坐标找相应的二元一次方程组的解。

　　2．二元一次方程组的解是相应的两个一次函数图象的交点坐标。

　　?x?y?2（1）解?

　　?2x?y?5（2）以方程x+y=2

　　（3）以方程2x+y=5（4）方程组的解为坐标的点在图象上是哪个点？

　　（5目的：通过自主探索，使学生初步体会“数”（二元一次方程组的解）与“形”（两条直线）两种模型之间的对应关系，

　　由学生自主学习，十分自然地建立了数形结合的意识，学生初步感受到了“数”的问题可以转化为“形”来处理，反之“形”的问题可以转化成“数”来处理，培养了学生的创新意识和变式能力．

　　练习：知识技能1。巩固由方程组的解求相应的一次函数的交点坐标。更深入的体会二元一次方程组的解与一次函数交点坐标之间的对应关系。

　　第三环节模型应用

　　1．某公司要印制产品宣传材料.

　　1500元制版费. 甲印刷厂:每份材料收1元印制费, 另收乙印刷厂:每份材料收2.5元印制费, 不收制版费.若公司要印制x份宣传材料，y甲表示甲印刷厂的费用，y乙表示乙

　　印刷厂的费用。

　　（1）请分别表示出两个印刷厂费用与X的关系式。

　　（2）在同一直角坐标系中画出函数的图象。

　　（3）如何根据印刷材料的份数选择印刷厂比较合算？

　　第四环节模型特例

　　想一想

　　内容：在同一直角坐标系内，一次函数y = x + 1 和 y = x - 2 的图象（教材

　　?x?y??1124页图5-2）有怎样的位置关系？方程组?解的情况如何？你发现了什x?y?2?

　　么？

　　二元一次方程的解和相应的两条直线的关系２．

　　（1）观察发现直线平行无交点；

　　（2）小组研究计算发现方程组无解；

　　（3）从侧面验证了两直线有交点，对应的方程组有解，反之也成立；

　　（4）归纳小结：两平行直线的k相等；方程组中两方程未知数的系数对应成比例方程组无解。

　　目的：进一步揭示“数”与“形”转化关系．通过想一想，将两直线的另一种位置关系：平行与方程组无解相结合，这是对第二环节的有益补充。体现了从一般到特殊的的思想方法，有利于培养学生全面考虑问题的习惯．

　　进一步培养了学生数形结合的意识和能力，充分展示了方程与函数的相互转化．进一步挖掘出两直线平行与k的关系。

　　效果：加深了两条直线交点的坐标就是对应的函数表达式所组成的方程组的解的印象，培养了学生的计算能力和数学转化的能力，使学生进一步领悟到应用数形结合的思想方法解题的重要性．

　　第五环节课堂小结

　　内容：以“问题串”的形式，要求学生自主总结有关知识、方法：

　　1．二元一次方程和一次函数的图像的关系；

　　以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；

　　一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．

　　2．方程组和对应的两条直线的关系：

　　方程组的解是对应的两条直线的交点坐标；

　　两条直线的交点坐标是对应的方程组的解；

　　第六环节作业布置

　　习题5．7

二元一次方程教案14

　　一、教材分析

　　1、教材的地位和作用

　　函数、方程和不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型。用函数的观点看方程(组)与不等式，使学生不仅能加深对方程(组)、不等式的理解，提高认识问题的水平，而且能从函数的角度将三者统一起来，感受数学的统一美。本节课是学生学习完一次函数、一元一次方程及一元一次不等式的联系后对一次函数和二元一次方程(组)关系的探究，学生在探索过程中体验数形结合的思想方法和数学模型的应用价值，这对今后的学习有着十分重要的意义。

　　2、教学重难点

　　重点：一次函数与二元一次方程(组)关系的探索。

　　难点：综合运用方程(组)、不等式和函数的知识解决实际问题。

　　3、教学目标

　　知识技能：理解一次函数与二元一次方程(组)的关系，会用图象法解二元一次方程组。

　　数学思考：经历一次函数与二元一次方程(组)关系的探索及相关实际问题的解决过程，学会用函数的观点去认识问题。

　　解决问题：能综合应用一次函数、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程(组)解决相关实际问题。

　　情感态度：在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟，体验数学的价值，建立自信心。

　　二、教法说明

　　对于认知主体学生来说，他们已经具备了初步探究问题的能力，但是对知识的主动迁移能力较弱，为使学生更好地构建新的认知结构，促进学生的发展，我将在教学中采用探究式教学法。以学生为中心，使其在生动活泼、民主开放、主动探索的氛围中愉快地学习。

　　三、教学过程

　　(一)感知身边数学

　　学生已经学习过列方程(组)解应用题,因此可能列出一元一次方程或二元一次方程组，用方程模型解决问题。结合前面对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间关系的探究，我自然地提出问题：一次函数与二元一次方程组之间是否也有联系呢?，从而揭示课题。

　　[设计意图]建构主义认为，在实际情境中学习可以激发学生的学习兴趣。因此，用上网收费这一生活实际创设情境，并用问题启发学生去思、鼓励学生去探、激励学生去说，努力给学生造成心求通而未能得，口欲言而不能说的情势，从而唤起学生强烈的求知欲，使他们以跃跃欲试的姿态投入到探索活动中来。

　　(二)享受探究乐趣

　　1、探究一次函数与二元一次方程的关系

　　[设计意图]用一连串的问题引导学生发现一次函数与二元一次方程在数与形两个方面的关系，为探索二元一次方程组的解与直线交点坐标的关系作好铺垫。

　　2、探究一次函数与二元一次方程组的关系

　　[设计意图] 学生经过自主探索、合作交流，从数和形两个角度认识一次函数与二元一次方程组的关系，真正掌握本节课的重点知识，从而在头脑中再现知识的形成过程，避免单纯地记忆，使学习过程成为一种再创造的过程。此时教师及时对学生进行鼓励，充分肯定学生的探究成果，关注学生的情感体验。

　　(三)乘坐智慧快车

　　例题：我市一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网时间计费;方式B除收月基费20元外再以每分0 .05元的价格按上网时间计费。如何选择收费方式能使上网者更合算?

　　[设计意图]为培养学生的发散思维和规范解题的习惯，引导学生将上网问题延伸为例题，并用问题：你家选择的上网收费方式好吗?再次激起学生强烈的求知欲望和主人翁的学习姿态。通过此问题的探究，使学生有效地理解本节课的难点，体会数形结合这一思想方法的应用。

　　(四)体验成功喜悦

　　1、抢答题

　　2、旅游问题

　　[设计意图]抓住学生对竞争充满兴趣的心理特征，用抢答题使学生的.眼、耳、脑、口得到充分的调动，并在抢答中品味成功的快乐，提高思维的速度。在学生感兴趣的旅游问题中，进一步培养学生应用数学的意识，更好地促进学生对本节课难点的理解和应用，帮助学生不断完善新的认知结构。

　　(五)分享你我收获

　　在课堂临近尾声时，向学生提出：通过今天的学习，你有什么收获?你印象最深的是什么?

　　[设计意图]培养学生归纳和语言表达能力，鼓励学生从数学知识、数学方法和数学情感等方面进行自我评价。

　　(六)开拓崭新天地

　　1、数学日记

　　2、布置作业

　　[设计意图]新课程强调发展学生数学交流的能力，用数学日记给学生提供一种表达数学思想方法和情感的方式，以体现评价体系的多元化，并使学生尝试用数学的眼睛观察事物，体验数学的价值。作业由必做题和选做题组成，体现分层教学，让不同的人在数学上得到不同的发展。

　　四、教学设计反思

　　1、贯穿一个原则以学生为主体的原则

　　2、突出一个思想数形结合的思想

　　3、体现一个价值数学建模的价值

　　4、渗透一个意识应用数学的意识

　　《一次函数与二元一次方程(组)》教案

　　教学目标

　　知识技能：理解一次函数与二元一次方程(组)的关系，会用图象法解二元一次方程组。

　　教学重难点

　　重点：一次函数与二元一次方程(组)关系的探索。

　　难点：综合运用方程(组)、不等式和函数的知识解决实际问题。

　　教学过程

　　(一)引入新课

　　多媒体播放一段发生在电信公司里的情景：一顾客准备办理上网业务，发现有两种收费方式：方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费;方式B除收月基费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费。顾客说他每月上网的费用按这两种收费方式计算都是一样多。求这位顾客打算每月上网多长时间?多少费用?

　　(二)进行新课

　　1、探究一次函数与二元一次方程的关系

　　填空：二元一次方程可以转化为 ________。

　　思考：(1)直线上任意一点一定是方程的解吗?(2)是否任意的二元一次方程都可以转化为这种一次函数的形式?

　　(3)是否直线上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程的解?

　　2、探究一次函数图像与二元一次方程组的关系

　　(1)在同一坐标系中画出一次函数和的图象，观察两直线的交点坐标是否是方程组的解?并探索：是否任意两个一次函数的交点坐标都是它们所对应的二元一次方程组的解?

　　此时教师留给学生充分探索交流的时间与空间，对学生可能出现的疑问给予帮助，师生共同归纳出：从形的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。

　　(2)当自变量取何值时，函数与的值相等?这个函数值是什么?这一问题与解方程组是同一问题吗?

　　进一步归纳出：从数的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值。

　　3、列一元二次不等式

　　解法1：设上网时间为分，若按方式A则收元;若按方式B则收元。然后在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象，计算出交点坐标，结合图象，利用直线上点位置的高低直观地比较函数值的大小，得到当一个月内上网时间少于400分时，选择方式A省钱;当上网时间等于400分时，选择方式A、B没有区别;当上网时间多于400分时，选择方式B省钱。

　　解法2：设上网时间为分，方式B与方式A两种计费的差额为元，得到一次函数：，即，然后画出函数的图象，计算出直线与轴的交点坐标，类似地用点位置的高低直观地找到答案。

　　注意：所画的函数图象都是射线。

　　4、习题

　　(1)、以方程的解为坐标的所有点都在一次函数 _____的图象上。

　　(2)、方程组的解是________,由此可知,一次函数与的图象必有一个交点,且交点坐标是________。

　　5、旅游问题

　　古城荆州历史悠久，文化灿烂。

　　今年，大型历史剧《万历首辅张居正》在荆州封镜后，来荆州的游客更是络绎不绝。据悉，张居正纪念馆门票标价20元/张，近期正在进行优惠活动，购买时有两种方式：方式A是团队中每位游客按8折购买;方式B是团队中除5张按标价购买外，其余按7折购买。如果你是团队的负责人，你会如何选择购买方式使整个团队更合算?