二元函数可微的充要条件

时间：2024-10-13 06:27:16 知识点总结我要投稿

二元函数可微的充要条件

　　设D是二维空间R2的一个非空子集，称映射f：D→R为定义在D上的二元函数，下面是小编整理的二元函数可微的充要条件，希望能帮助到大家！

　　一、二元函数的条件

　　1、二元函数可微的必要条件：若函数在某点可微，则函数在该点必连续，该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

　　2、二元函数可微的充分条件：若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。

　　3、设平面点集D包含于R^2，若按照某对应法则f，D中每一点P（x，y）都有唯一的实数z与之对应，则称f为在D上的二元函数。

　　二、二元函数可微性

　　设函数z=f（x，y）在点P0（x0，y0）的某邻域内有定义，对这个邻域中的点P（x，y）=（x0+△x，y0+△y），若函数f在P0点处的增量△z可表示为：

　　△z=f（x0+△x，y+△y）-f（x0，y0）=A△x+B△y+o（ρ），其中A，B是仅与P0有关的常数，ρ=〔（△x）^2+（△y）^2〕o（ρ）是较ρ高阶无穷小量，即当ρ趋于零是o（ρ）/ρ趋于零。则称f在P0点可微。

　　可微性的几何意义

　　可微的充要条件是曲面z=f（x，y）在点P（x0，y0，f（x0，y0））存在不平行于z轴的切平面Π的充要条件是函数f在点P0（x0，y0）可微。

　　这个切面的方程应为Z-z=A（X-x0）+B（Y-y0）。

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