角平分线教案

时间：2024-08-29 08:36:18 教案我要投稿

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角平分线教案

　　作为一位杰出的教职工，时常需要编写教案，教案是教学活动的总的组织纲领和行动方案。那么大家知道正规的教案是怎么写的吗？下面是小编整理的角平分线教案，仅供参考，希望能够帮助到大家。

角平分线教案

角平分线教案1

　　重点与难点分析：

　　本节内容的重点是及其推论。等腰三角形两底角相等（等边对等角）是证明同一三角形中两角相等的重要依据；而在推论中提到的等腰三角形底边上的高。中线及顶角平分线三线合一这条重要性质也是证明两线段相等，两个角相等及两直线互相垂直的重要依据。为证明线段相等，角相等或垂直平提供了方法，在选择时注意灵活运用。

　　本节内容的难点是文字题的证明。对文字题的证明，首先分析出命题的题设和结论，结合题意画出草图形，然后根据图形写出已知。求证，做到不重不漏，从而转化为一般证明题。这些环节是学生感到困难的。

　　教法建议：

　　数学教学的核心是学生的“再创造”。根据这一指导思想，本节课教学可通过精心设置的一个个问题链，激发学生的求知欲，最终在老师的指导下发现问题。解决问题。为了充分调动学生的积极性，使学生变被动学习为主动学习，本课教学拟用启发式问题教学法。具体说明如下：

　　（1）发现问题

　　本节课开始，先投影显示图形及问题，让学生观察并发现结论。提出问题让学生思考，创设问题情境，激发学生学习的欲望和要求。

　　（2）解决问题

　　对所得到的结论通过教师启发，让学生完成证明。指导学生归纳总结，从而顺其自然得到本节课的一个定理及其两个推论。多让学生亲自实践，参与探索发现，领略知识形成过程，这是课堂教学的基本思想和教学理念。

　　（3）加深理解

　　学生学习的过程是对知识的`消化和理解的过程，通过例题的解决，提高和完善对定理及其推论理解。这一过程采用讲练结合。适时点拨的教学方法，把学生的注意力紧紧吸引在解决问题身上，让学生的思维活动在老师的引导下层层展开，让中国学习联盟胆参与课堂教学，使他们“听”有所“思”。“练”有所“获”，使传授知识与培养能力融为一体。一。教学目标：

　　1、掌握定理的证明及这个定理的两个推论；

　　2、会运用证明线段相等；

　　3、使学生掌握一般文字题的证明；

　　4、通过文字题的证明，提高学生几何三种语言的互译能力；

　　5、逐步培养学生逻辑思维能力及分析实际问题解决问题的能力；

　　6、渗透对称的数学思想，培养学生数学应用的观点；

　　教学重点：

　　及其推论

　　教学难点：

　　文字题的证明

　　教学用具：

　　直尺，微机

　　教学方法：

　　问题探究法

　　教学过程：

　　1、性质定理的发现与证明

　　（1）投影显示：

　　一般学生都能发现等腰三角形的两个底角相等（若有其它发现也要给予肯定），

　　（2）提醒学生：凭观察作出的判断准确吗？怎样证明你的判断？

　　师生讨论后，确定用全等三角形证明，学生亲自动手作出证明。证明略。

　　教师指出：定理提示了三角形边与角的转化关系，由两边相等转化为两角相等，这是今后证明两角相等常用的依据，其功效不亚于利用全等三角形证明两角相等。

　　2、推论1的发现与证明

　　投影显示：

　　由学生观察发现，等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。

　　启发学生自己归纳得出：顶角平分线。底边上的中线。底边上的高互相重合。

　　学生口述证明过程。

　　教师指出：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线。底边上的高这“三线合一”的性质有多重功能，可以证明两线段相等，两个角相等以及两条直线的互相垂直，也可证线段成角的倍分问题。

　　3、推论2的发现与证明

　　投影显示：

　　一般学生都能发现等边三角形的三个内角都为。然后启发学生与等腰三角形的“三线合一”作类比，自己得出等边三角形的“三线合一”。

　　4、定理及其推论的应用

　　小结：渗透分类思想，培养思维的严密性。

　　例2。已知：如图，点D。E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE

　　求证：BD=CE

　　证明：作AF⊥BC，，垂足为F，则AF⊥DE

　　∵AB=AC，AD=AE（已知）

　　AF⊥BC，AF⊥DE（辅助线作法）

　　∴BF=CF，DF=EF（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）

　　∴BD=CE

　　强调说明：等腰三角形中的“三线合一”常常作为解决等腰三角形问题的辅助线，添加辅助线时，有时作顶角的平分线，有时作底边中线，有时作底边的高，有时作哪条线都可以，有时却不能，还要根据实际情况来定。

　　例3、已知：如图，D是等边△ABC内一点，DB=DA，BP=AB，DBP= DBC

　　求证：P=

　　证明：连结OC

　　在△BPD和△BCD中

　　在△ADC和△BCD中

　　因此，P=

　　例4求证：等腰三角形两腰上中线的交点到底边两端点的距离相等

　　已知：如图，AB=AC，BD。CE分别为AC边。AB边的中线，它们相交于F点

　　求证：BF=CF

　　证明：∵BD。CE是△ABC的两条中线，AB=AC

　　∴AD=AE，BE=CD

　　在△ABD和△ACE中

　　∴△ABD≌△ACE

　　∴ 1= 2

　　在△BEF和△CED中

　　∴△BEF≌△CED

　　∴BF=FC

　　设想：例1到例4，由易到难地安排学生对新授内容的练习和巩固。在以上教学中，特别注意“一般解题方法”的运用。

　　在四个例题的教学中，充分发挥学生与学生之间的互补性，从而提高认识，完善认知结构，使课堂成为学生发挥想象力和创造性的“学堂”

　　5、反馈练习：

　　出示图形及题目：

　　将实际问题数学化，培养学生应用能力。

　　6、课堂小结：

　　教师引导学生小结

　　（1）

　　（2）等边三角形的性质

　　（3）文字证明题的书写步骤

　　7、布置作业：

　　a、书面作业P96#1.2

　　b、上交作业P96#4.7.8

　　c、思考题：

　　已知：如图：在△ABC中，AB=AC，E在CA的延长线上，∠AEF=∠AFE。

　　求证：EF⊥BC

　　证明：作BC边上的高AM，M为垂足

　　∵AM⊥BC

　　∴∠BAM=∠CAM

　　又∵∠BAC为△AEF的外角

　　∴∠BAC =∠E+∠EFA

　　即∠BAM+∠CAM=∠E=∠EFA

　　∵∠AEF=∠AFE

　　∴∠CAM=∠E

　　∴EF∥AM

　　∵AM⊥BC

　　∴EF⊥BC

　　七、板书设计：

　　（略）

角平分线教案2

　　一、教学目标

　　1.了解推理、证明的格式，掌握平行线判定公理和第一个判定定理。

　　2.会用判定公理及第一个判定定理进行简单的推理论证。

　　3.通过模型演示，即“运动—变化”的数学思想方法的运用，培养学生的“观察—分析”和“归纳—总结”的能力。

　　二、学法引导

　　1.教师教法：启发式引导发现法。

　　2.学生学法：独立思考，主动发现。

　　三、重点·难点及解决办法

　　(一)重点

　　在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导。

　　(二)难点

　　判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式。

　　(三)解决办法

　　1.通过观察实验，巧妙设问，解决重点。

　　2.通过引导正确思维，严格展示推理书写格式，明确方法来解决难点、疑点。

　　四、课时安排

　　课时

　　五、教具学具准备

　　三角板、投影胶片、投影仪、计算机。

　　六、师生互动活动设计

　　1.通过两组题，复习旧知，引入新知。

　　2.通过实验观察，引导思维，概括出公理及定理的推导，并以练习进行巩固。

　　3.通过教师提问，学生回答完成归纳小结。

　　七、教学步骤

　　明确目标

　　教学建议

　　1、教材分析

　　(1)知识结构：

　　由平行线的画法，引出公理(同位角相等，两直线平行).由公理推出：内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两条直线平行，这两个定理。

　　(2)重点、难点分析：

　　本节的重点是：公理及两个判定定理。一般的定义与第一个判定定理是等价的。都可以做判定的方法。但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交。这样，有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定。因此，这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了。它们是判断两直线平行的依据，也为下一节，学习-平行线的性质打下了基础。

　　本节内容的难点是：理解由判定公理推出判定定理的`证明过程。学生刚刚接触用演绎推理方法证明几何定理或图形的性质，对几何证明的意义还不太理解。有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明。这些都使几何的入门教学困难重重。因此，教学中既要有直观的演示和操作，也要有严格推理证明的板书示范。创设情境，不断渗透，使学生初步理解证明的步骤和基本方法，能根据所学知识在括号内填上恰当的公理或定理。

　　2、教学建议

　　在平行线判定公理的教学中，应充分体现一条主线索：“充分实验—仔细观察—形成猜想—实践检验—明确条件和结论。”

　　教师可演示教材中所示的教具，还可以让每个学生都用三角板和直尺画出平行线。在此过程中，注意角的变化情况。事实充分，学生可以理解，如果同位角相等，那么两直线一定会平行。

　　公理后，有些同学可能会意识到“内错角相等，两直线也会平行”。教师可组织学生按所给图形进行讨论。如何利用已知和几何的公理、定理来证明这个显然成立的事实。也可多叫几个同学进行重复。逐步使学生欣赏到数学证明的严谨性。另一个定理的发现与证明过程也与此类似。

角平分线教案3

　　教学目标：

　　1、理解三角形的内外角平分线定理；

　　2、会证明三角形的内外角平分线定理；

　　3、通过对定理的证明，学习几何证明方法和作辅助线的方法；

　　4、培养逻辑思维能力。

　　教学重点：

　　1、几何证明中的证法分析；

　　2、添加辅助线的方法。

　　教学难点：

　　如何添加有用的辅助线。

　　教学关键：

　　抓住相似三角形的判定和性质进行教学。

　　教学方法：

　　“四段式”教学法，即读、议、讲、练。

　　一、阅读课本，注意问题

　　1、复习旧知识，回答下列问题

　　①在等腰三角形中，怎样从等边得出等角？又怎样从等角得出等边？请画图说明。

　　②辅助线的作法中，除了过两个点连接一条线段外，最常见的就是过某个已知点作某条已知直线的平行线。平行线有哪些性质？

　　③怎样判断两个三角形是相似的？相似三角形最基本的性质是什么？

　　④几何证明中怎样构造有用的相似三角形？

　　2、阅读课本，弄清楚教材的内容，并注意教材上是怎样讲的。

　　提示：课本上在这一节讲了三角形的内外角平分线定理，每个定理各讲了一种证明方法。为了叙述定理的需要，课本上还讲了线段的内分点和外分点两个概念。最后用一个例题来说明怎样运用三角形的内外角平分线定理。阅读时要注意课本上有关问题的叙述、分析以及作辅助线的方法。通过适当的联想和猜测，找出一些课本上尚未出现的新的证明方法。

　　3、注意下列问题：

　　⑴如图，等腰中，顶角的平分线交底边于，那么，图中出现的相等线段是，，即，。通过比较得到。

　　⑵如果上面问题中的换成任意三角形，即右图的，平分，交于，那么，是不是还成立？请同学们用刻度尺量一量线段的长度，计算，然后再比较（小的误差忽略不计）。

　　⑶三角形的内角平分线定理说的是什么意思？课本上是怎样写已知、求证的？

　　⑷课本上是怎样进行分析、证明的？都用了哪些学过的知识？证明的根据是什么？

　　⑸课本上证明的过程中是怎样作辅助线的？这样作辅助线的目的是什么？

　　⑹过三点能不能作出有用的辅助线？如果能，辅助线应该怎样作？各能作出几条？

　　⑺就作出的辅助线，怎样寻找证明的思路和方法？分析的过程中用到了哪些知识？

　　⑻你能不能类似地叙述三角形的外角平分线定理？

　　⑼回答练习中的第一题。

　　⑽总结证明方法和作辅助线的方法。

　　⑾注意内分点和外分点两个概念及其应用。

　　4、阅读指导丛书《平面几何》第二册。

　　⑴注意辅助线中平行线的作法，通过对图、、的观察分析，找出解决问题的证明方法。

　　⑵丛书利用正弦定理中的面积公式来证明三角形的内角平分线定理，既把有关的知识联系起来、拓展了解题思路，又为我们提供了一种比较简单的解决问题的方法，值得我们借鉴。要注意三角形面积的几种不同的计算方法。

　　二、互相讨论，解答疑点

　　1、上面提出的问题，希望大家独立思考、独立完成。根据已有的思路和线索，参照课本上的方法进行分析。

　　2、思考中实在是有困难的同学，可以和周围的同学互相讨论，发表看法；也可以请老师帮助、提示或指点。

　　3、把同学之间讨论的结果，整理成一个完整的证明过程，写出每一步证明的根据。最后，适当地总结一些解题的经验和方法。

　　三、讲评纠正，整理内容

　　1、把学生讨论的结果归纳出来，加以补充说明，纠正错误后进行适当的分类总结，点明证题法中的要点。

　　①证明比例式的依据是平行截割定理的推论，因此，我们作的辅助线都是平行线。

　　②从上述几种证明方法可以看出，证明的关键在于通过作辅助线把某些线段“移动”到适当的位置，以便根据平行截割定理的推论得出所要的结论。

　　③辅助平行线的作法，只能是过、、三点分别作不过三点的边（线段）的平行线，和另一条边（线段）的延长线相交，构成一个等腰三角形，达到“移动”的目的。

　　2、整理教学内容

　　⑴线段的内分点和外分点

　　（ⅰ）定义：

　　①在线段上，把线段分成两条线段的点叫做这条线段的内分点。

　　②在线段的延长线上的点叫做这条线段的外分点。

　　（ⅱ）举例

　　点在线段上，把线段分成了和两条线段，所以，点是线段的内分点，线段和叫

　　做点内分线段所得的两条线段。

　　点在线段的延长线上，和、两个端点构成了、两条线段，所以，点是线段的外分点，线段和叫做点外分线段所得的两条线段。

　　（ⅲ）条件

　　①内分点的条件：a）在已知线段上；

　　b）把已知线段分成另外两条线段。

　　②外分点a）在已知线段的延长线上；

　　b）和已知线段的两端点构成另外的两条线段。

　　（ⅳ）特殊情况

　　a）线段的中点是不是线段的内分点？内分点是不是线段的中点？

　　b）线段的黄金分割点是不是线段的内分点？内分点是不是线段的黄金分割点？

　　c）一条已知线段有几个中点？有几个黄金分割点？有几个内分点？几个外分点？

　　⑵三角形的内角平分线定理

　　（ⅰ）定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与夹这个角的两边对应成比例。

　　（ⅱ）已知：中，平分，交于。

　　求证：。

　　（ⅲ）简单分析

　　从结论来考虑，横着看，两个比的.前项、在中，两个比的后项、在中。按照相似三角形的性质，只要∽，那么，结论就是成立的。但是，与不是一对相似三角形，所以，不可能用相似三角形来证明。竖着看，有和，事实上，不成一个三角形。若是从“平行线分两条线段所得的线段对应成比例”（平行截割定理的推论）来考虑，显然，图中也没有平行线。因此，要想得到结论，只有把其中的某条线段进行适当的移动，使其构成相似三角形的对应边，或者成为两条直线上被平行线截得的对应线段。这样，我们就确定了辅助线的作法以平行线为主。

　　例如，把线段绕着它的端点旋转适当的角度到图中的位置（即的延长线）。由于旋转不改变线段的长度，所以，从旋转情况可得。由于平分，所以，连接后可以证明。因此，实际证明时，一般都叙述为“过点作交的延长线于”。不管是哪种说法，其结果都是一样的。类似地，我们还可以把线段绕着它的端点旋转适当的角度到端点落在线段的延长线上，同样也可以证明。

　　（ⅳ）证法提要

　　①证法一：如上图，过点作交的延长线于，可以得到：a）（为什么？）；b）（为什么？）。通过等量代换便可以得到结论。同样，过点作的平行线和边的延长线相交，也可以证得结论，证明的方法是完全一样的。共3页，当前第2页123

　　②证法二：如右图，过点作交的延长线于，可以得到：a）（为什么？）；b）（为什么？）。通过等量代换便可以得到所要的结论。同样，过点作的平行线和的延长线相交，也可以得到结论，证明的方法是完全一样的。

　　③证法三：如右图，过点作交于，可以得到：a）（为什么？）；b）（为什么？）；c）。通过等量代换便可以得到所要的结论。同样，过点作的平行线和相交，也可以得到结论，证明的方法是完全一样的。

　　④证法四：如下页图，过点作交于，根据三角形的面积公式可得：；

　　又根据正弦定理的面积公式有：

　　；

　　通过比较就可以得到：所要的结论。

　　⑶三角形的外角平分线定理

　　（ⅰ）定理：三角形的外角平分线外分对边所得的两条线段与夹这个角的两边对应成比例。

　　（ⅱ）已知：中，是的一个外角，平分，交的延长线于。

　　求证：。

　　（ⅲ）简单分析：（类同内角平分线定理的分析方法）

　　（ⅳ）证法提要；（类同内角平分线定理的分析方法）

　　四、小结全节，练习巩固

　　1、小结

　　⑴两个定理

　　（ⅰ）三角形的内角平分线定理

　　（ⅱ）三角形的外角平分线定理

　　⑵证明方法

　　分为四大类共七种方法。

　　2、练习

　　⑴教材，2、3两题。

　　⑵补充题：

　　①画任意一个三角形的某个角的内外角平分线，说明内外角平分线之间的关系，证明你的结论。

　　②画等腰三角形的外角平分线，说明外角平分线和底边之间的关系，证明你的结论。

　　3、作业

　　教材，17、18两题。

角平分线教案4

　　1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。

　　如下图：OC平分∠AOB

　　∵OC平分∠AOB

　　∴∠AOC=∠BOC

　　2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的.两边的距离相等。

　　∵OC平分∠AOB（或∠1=∠2），PE⊥OA，PD⊥OB

　　∴PD=PE，此时我们知道△OPE≌△OPD（直角三角形斜边是OP即公共边，直角边斜边）

　　3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

　　∵PE⊥OA，PD⊥OB，PD=PE

　　∴OC平分∠AOB（或∠1=∠2）

　　4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。

　　∵C是AB的中点

　　∴AC=BC

　　5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。

　　∵AB⊥CD

　　∴∠AOC=∠AOD=∠BOC =∠BOD=90°

　　或∵∠AOC=90°

　　∴AB⊥CD

　　注意：要判断两条直线垂直，只要知道这两条相交直线所形成的四个角中的

　　一个角是直角就可以了。反过来，两条直线互相垂直，它们的四个交角都是直角。

　　6、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

　　∵△ABC≌△A'B'C'

　　∴AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'

角平分线教案5

　　从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

　　教学目标

　　【知识与技能】

　　1.会阐述角平分线的性质定理及其逆定理.

　　2.会应用角平分线定理及其逆定理证明两条线段相等或两个角相等.

　　【过程与方法】

　　1.经历探索角平分线作法的过程,进一步体验轴对称的特点,发展空间观察能力.

　　2.探索角平分线定理,培养学生认真探究、积极思考的能力.

　　【情感、态度与价值观】

　　1.体验数学与生活的联系,发展学生的空间观念和审美观.

　　2.活动与探究的过程可以更大程度地激发学生学习的主动性和积极性,使学生具有一些初步研究问题的能力.

　　重点难点

　　【重点】

　　角平分线的性质定理及其逆定理.

　　【难点】

　　理解并证明角平分线的性质定理及其逆定理.

　　教学过程

　　一、创设情境,导入新知

　　师:同学们知道怎样作出角的平分线吗?

　　生1:可以通过折纸得到一个角的平分线.

　　生2:也可以用量角器来画一个角的平分线.

　　师:下面我们来学习用尺规作图的方法作出∠AOB的平分线.

　　作法:

　　1.以O为圆心、任意长为半径圆弧分别交OA、OB于点M、N,如图(1).

　　2.分别以点M、N为圆心,以大于MN长为半径在角的内部画弧交于点P,如图(2).

　　3.作射线OP,则OP为所要求作的∠AOB的平分线.

　　师:通过上面的`作图,启发我们可以用尺规完成:“经过一点作已知直线的垂线.”

　　教师边操作边讲解:

　　用纸剪一个角,把纸片对折,使角的两边叠合在一起,再把纸片展开,你看到了什么?把对折的纸片继续任意折一次,然后把纸片展开,又看到了什么?

　　学生操作.

　　师:从上面折纸中我们发现,纸片第一次对折后的折痕是什么?

　　生:是这个角的平分线.

　　师:你第二次折时出现的两条折痕的长度之间有什么关系?

　　生:一样长.

　　师:因为第二次我们是任意折的,所以这种等长的折痕能折出无数对.

　　二、共同探究,获取新知

　　教师多媒体出示:

　　操作:

　　(1)折出如上图中的折痕PD、PE;

　　(2)你和同桌用三角板测量一下,检测你们所折的折痕是否符合图示的要求.

　　问题1:你能用文字语言阐述所画图形的性质吗?

　　学生思考后回答.

　　问题2:根据命题“在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”用符号语言填写下表:

　　图形已知事项由已知事项推出的事项

　　OP平分∠AOB,PD⊥OB,PE⊥OA,垂足分别为D、EPD=PE

　　(推证定理1)

　　问题3:根据下表中的图形和已知事项,猜想由已知事项可推出的事项,并用符号语言填写下表:

　　图形已知事项由已知事项推出的事项

　　DE⊥AB,BC⊥AC,垂足分别为E、C,DE=DC.∠DAE=∠DAC

　　问题4:用文字语言表述上表中的已知事项和由已知事项推出的事项.

　　(推证定理2)

　　三、练习新知,加深理解

　　师:下面我们接着来探讨上面的问题3.

　　教师多媒体出示:

　　(1)∵AD平分∠BAC,DC⊥AC,DE⊥AB,(已知)

　　∴DC=DE.( )

　　(2)∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE,(已知)

　　∴点D在∠BAC的平分线上.( )

　　学生思考后抢答,教师板书.

　　第1个括号中填“角平分线上任意一点到角的两边的距离相等”,第2个括号中填“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”.

　　教师多媒体出示:

　　【例1】已知:∠C=∠C'=90°,AC=AC'.

　　求证:(1)∠ABC=∠ABC';(2)BC=BC'.(要求不用三角形全等判定)

　　学生思考后交流讨论.

　　教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.

　　证明:(1)∵∠C=∠C'=90°,(已知)

　　∴AC⊥BC,AC'⊥BC'.(垂直的定义)

　　又∵AC=AC',(已知)

　　∴点A在∠CBC'的角平分线上.(到一个角的两边的距离相等的点,在这个角的平分线上)

　　∴∠ABC=∠ABC'.

　　(2)∵∠C=∠C',∠ABC=∠ABC',∴180°-(∠C+∠ABC)=180°-(∠C'+∠ABC').(三角形内角和定理)

　　即∠BAC=∠ABC'.

　　∵BC⊥AC,BC'⊥AC',∴BC=BC'.(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)

　　【例2】已知:△ABC中,∠B、∠C的平分线BE、CF相交于点P.

　　求证:AP平分∠BAC.

　　证明:过点P分别作PM⊥BC、PN⊥AC、PQ⊥AB,垂足分别为M、N、Q.

　　∵BE是∠B的平分线,点P在BE上,(已知)

　　∴PQ=PM.(角平分线上任意一点到角的两边的距离相等)

　　同理PN=PM.

　　∴PN=PQ.(等量代换)

　　∴AP平分∠BAC.(到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)

　　四、课堂小结

　　师:你今天学习了什么知识?有什么新的收获?

　　学生回答,教师点评.

　　教学反思

　　本节课开头设计的折纸和画一画的活动,旨在丰富学生对角平分线性质的感知,有利于学生借助直观图从而准确地用文字语言揭示角平分线的性质.由于部分学生常常把“过角平分线上一点向角两边画垂线段”与“过角平分线上一点画角平分线的垂线”混为一谈,因此设计操作(1)、(2),为学生能正确画出符合要求的图形,从直观上以及三角板的正确使用上都作了恰当的铺垫,同时也为定理1的推理论证作准备.通过学生自己动后操作、自己推导、自己发现,从而得到角平分线的性质定理及其逆定理,充分发挥学生的探究意识,使学生在学习中体验并掌握合作交流的学习方法,同时进一步锻炼学生的数学语言表达能力,能写出规范的证明过程.

角平分线教案6

　　一、教学目标

　　【知识与技能】了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明与计算。

　　【过程与方法】在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，进一步发展学生的推理证明意识和能力。

　　【情感态度与价值观】在主动参与数学活动的过程中，增强探究问题的兴趣。有合作交流的意识。动手操作的`能力与探索精神，获得解决问题的成功体验。

　　二、教学重难点

　　【重点】角的平分线的性质的证明及应用。

　　【难点】角的平分线的性质的探究。

　　三、教学过程

　　（一）导入新课

　　1、复习角平分线的画法

　　2、利用PPT创设情景：

　　如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，BC=DC。不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗？

　　（二）生成新知

　　探究做一做（学生独立完成，同组同学交流，找学生到黑板上板演。教师纠正答案）

　　如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开。观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？试着证明你的结论。

　　0011。jpg

　　∴△PDO≌△PEO（AAS）

　　∴PD=PE。

　　（三）深化新知

　　思考：角的平分线的性质在应用时应该注意什么问题？（由学生讨论汇报）

　　（四）应用新知

　　1、例题：解决导入中PPT的问题

　　2、练一练：下面四个图中，点P都在∠AOB的平分线上，则图形_____中PD=PE。

　　（五）小结作业

　　小结：通过这节课的学习，你有什么收获？你对今天的学习还有什么疑问吗？

　　作业：必做题，选做题，思考题：角平分线性质的逆命题并证明。

角平分线教案7

　　一、教学分析

　　1、教学内容分析

　　本节课是新人教版教材《数学》八年级上册第11。3节第一课时内容，是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的内容包括角平分线的作法。角平分线的性质及初步应用。作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础。因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。同时教材的安排由浅入深。由易到难。知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。

　　2、教学对象分析

　　刚进入初二的学生观察。操作。猜想能力较强，但归纳。运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性。敏捷性。灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题，同时为下节判定定理的学习打好基础。

　　二、教学目标

　　1、知识与技能：

　　（1）掌握用尺规作已知角的平分线的方法。

　　（2）理解角的平分线的性质并能初步运用。

　　2、数学思考：通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。

　　3、解决问题：

　　（1）初步了解角的平分线的性质在生产。生活中的应用。

　　（2）培养学生的数学建模能力。

　　4、情感与态度：充分利用多媒体教学优势，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情。

　　三、教学重点。难点

　　重点：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。

　　难点：

　　（1）对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；

　　（2）对于性质定理的运用（学生习惯找三角形全等的方法解决问题而不注重利用刚学过的定理来解决，结果相当于对定理的重复证明）

　　四、教学过程

　　教学环节设计

　　1、提出问题，思考探究

　　问题1：

　　生活中有很多数学问题：

　　小明家居住在某小区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连。

　　（1）怎样修建管道最短？

　　（2）新修的两条管道长度有什么关系，画来看一看。

　　[设计意图]

　　依据新课程理念，教师要创造性地使用教材，作为本课的第一个引例，从学生的生活出发，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识，解决实际问题的意识，复习了点到直线的距离这一概念，为后续的学习作好知识上的储备。

　　问题2：

　　要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线，工人师傅常用简易平分角的仪器来画角的平分线。出示仪器模型，介绍仪器特点（有两对边相等），将A点放在角的顶点处，AB和AD沿角的两边放下，过AC画一条射线AE，AE即为∠BAD的平分线。为什么？

　　[设计意图]

　　体验从生产生活中分离，抽象出数学模型，并主动运用所学知识来解决问题。从上面的探究中可以得到作已知角的平分线的方法。

　　问题3：

　　把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边相等，从几何作图角度怎么画？BC=DC，从几何作图角度怎么画？

　　[设计意图]

　　从实验操作中获得启示，明确几何作图的基本思路和方法。

　　问题4：

　　作一个平角∠AOB的平分线OC，反向延长OC得到直线CD，请学生说出直线CD与AB的位置关系。并在此基础上再作出一个45度的角。

　　[设计意图]

　　通过作特殊角的平分线，让学生掌握过直线上一点作已知直线的垂线及特殊角的方法，达到培养学生的发散思维的目的

　　问题5：

　　让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕。

　　（1）第一次的折痕和角有什么关系？为什么？

　　（2）第二次折叠形成的`两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？

　　[设计意图]

　　培养学生的动手操作能力和观察能力，为下面进一步揭示角平分线的性质作好铺垫。

　　2、教师点拨，归纳概括

　　按照折纸的顺序画出角及折纸形成的三条折痕。让学生分组讨论。交流，再利用几何画板软件验证结论，并用文字语言阐述得到的性质。（角的平分线上的点到角两边的距离相等）结合图形写出已知，求证，分析后写出证明过程。教师归纳，强调定理的条件和作用。

　　教师用文字语言叙述得到的结论。引导学生结合图形写出已知。求证，分析后写出证明过程，并利用实物投影展示。证明后，教师强调经过证明正确的命题可作为定理。同时强调文字命题的证明步骤。

　　[设计意图]

　　经历实践→猜想→证明→归纳的过程，符合学生的认知规律，尤其是对于结论的验证，信息技术在此体现其不可替代性，从而把学生的直观体验上升到理性思维。

　　3、例题解析、应用新知

　　例1在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，

　　DF⊥AC，垂足分别是E，F。

　　求证：EB=FC。

　　[设计意图]

　　为突出本节课重点。突破难点而设计的一项活动。让学生运用性质解决数学问题，通过利用多媒体对一些边进行变色，提醒学生直接运用定理，不要仍旧去找全等三角形。同时通过信息技术方便进行一题多解及一题多变研究，更好的拓展学生解题思路及形成知识运用能力。两道变题同时展示，符合高效课堂要求。通过学生观察识图。独立思考。小组讨论，培养学生合作交流的意识。

　　例2已知：△ABC的角平分线BM。CN相交于点P。

　　求证：点P到三边AB。BC。CA的距离相等。

　　[教学方法手段]

　　限时让学生独立思考分析，然后交流证题思路，再通过多媒体展示一般证明过程。

　　[设计意图]

　　通过问题的解决，帮助学生更好的理解角平分线的性质，并达到能熟练运用的程度。

　　4、课堂练习，巩固提高

　　课后练习1。2题。

　　[设计意图]

　　通过练习，巩固角平分线的性质。

　　5、课堂小结，回顾反思

　　（1）。这节课你有哪些收获，还有什么困惑？

　　（2）。通过本节课你了解了哪些思考问题的方法？

　　[设计意图]

　　通过引导学生自主归纳，调动学生的主动参与意识，锻炼学生归纳概括与表达能力。

　　6、布置作业，信息反馈

　　[设计意图]

　　通过课后动手练习作业，教师批改作业，检查学生本节课的学习效果，从中发现问题，及时调整教学策略。

　　必做题：教材第22页第1。2。3题

　　选做题：教材第23页第6题

　　五、板书设计：

　　（略）

角平分线教案8

　　知识结构

　　重点与难点分析：

　　本节内容的重点是角平分线的性质定理，逆定理及它们的应用。性质定理和它的逆定理为证线段相等、角相等，开辟了新的途径，简化了证明过程。

　　本节内容的难点是：a、角平分线定理和逆定理的应用；b、这两个定理的区别；c、写命题的逆命题。学生对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理。对于原命题和逆命题，学生对条件和结论容易混淆，特别是没有明显的提示语言时，更易找不准条件和结论，这就成了教学的难点。

　　教法建议：

　　整堂课围绕“以复习为基础，以过程为主线，以思维为中心，以训练为手段”开展教学。注重学生的参与度，通过提问、板演、讨论等多种形式，让学生直接参加课堂活动，将教与学融为一体。具体说明如下：

　　（1）做好铺垫

　　新课引入前，作一个具体画图的练习：已知角画出它的角平分线；然后在平分线上任取一点，作出这一点到角两边的距离。这样做一是复习了角平分线的定义和点到直线距离的定义；二是为本节课的学习奠定了图形基础。

　　（2）主动获取

　　利用上面的图形，观察这两个距离的关系，并证明自己的结论。对基础条件比较好的同学会很容易得出结论并能用文字叙述出来。对基础稍差一些的同学生得出结论并不难但让他们用文字叙述出来可能不是很准确，此时教师要做指导。这一环节的教学注意让学生通过观察、分析、推理等活动，主动提出此定理。

　　（3）激荡思维

　　在上面定理的基础上，让学找出此定理的条件与结论，并交换条件与结论得到一个新的命题，然后验证此命题的正确性如何?学生通过推理证明不难得到是一个真命题。此时顺理成章地引出教材中的定理2。最后注意强调：两个定理的区别与联系；原命题与逆命题、原定理与逆定理的关系及写出一个命题的逆命题的方法步骤。这一环节完全是由学生给出定理的文字表述及证明过程。

　　（4）推向深入

　　进行必要的例题讲解，然后进行有层次阶梯性训练，以达到熟练地运用定理证明有关问题。教学时，要注意引导学生分析问题解决问题的思考方法。同时让学生总结积累证明线段相等、角相等的常见方法。

　　教学目标：

　　1、知识目标：

　　（1）掌握角平分线的性质定理和逆定理；

　　（2）能够运用性质定理和逆定理证明两个角相等或两条线段相等；

　　（3）能够判定两个命题是否为互逆命题，并能写出一个命题的逆命题.

　　2、能力目标：

　　（1）通过“判断题”的练习，提高学生的辨析能力；

　　（2）通过公理的初步应用，培养学生的逻辑推理能力及创新的能力.

　　3、情感目标：

　　（1）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；

　　（2）通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征。

　　教学重点：

　　角平分线的性质定理，逆定理及它们的.应用。

　　教学难点：

　　a、角平分线定理和逆定理的应用；b、这两个定理的区别；c、写命题的逆命题。

　　教学用具：直尺，微机

　　教学方法：谈话法

　　教学过程：

　　1、新课引入

　　投影显示

　　问题：（1）画一个；

　　（2）在这条平分线上任取一点P，标出P点到角两边的距离。

　　（3）说出这两段距离的关系并证明。

　　2、定理的获得

　　让学生用文字语言叙述出定理的内容

　　角平分线的性质定理：在角平分线上的点到这个角两边距离相等。

　　强调说明：

　　（1）、定理的条件及结论的符号表示；

　　（2）、定理的作用：直接证明两线段相等。使用的前提是有，关键是图中是否有“垂直”。

　　3、运用逆向思维，导出定理的逆定理

　　问题：将定理的条件与结论“换位”得到一个新命题，说出这个新命题的内容，并判断命题是真命题还是假命题？学生分析、讨论用文字叙述内容，老师作必要的提示。

　　逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个上。

　　强调：a逆定理的作用：证明角相等

　　b、二定理的区别与联系：性质定理说明了角平分线上点的纯粹性，即：只要是角平分线上的点，它到此角两边一定等距离，而无一例外；判定定理反映了角平分线的完备性，即只要是到角两边距离相等的点，都一定在角平分线上，而绝不会漏掉一个。实际应用中，前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等（角平分线）

　　4、原命题与逆命题

　　a、概念

　　b、写出互逆命题的关键。

　　c、原使命与逆使命的真假性并无一定的依存关系。

　　5、定理的应用(投影四个例题)

　　例1、已知：如图1，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.

　　求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.

　　学生先分析，教师巡视并适当点拨。

　　投影显示学生的证明过程，师生共同纠正补充完善。

　　投影规范的书写格式:

　　（见书中例题）

　　此题设想：（1）语言要规范。例“过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F”这一段话一定要在证明中写出。

　　（2）几何证明中，常见“同理”二字，讲清“同理”适用的条件以免以后乱用。

　　例2、已知：如图2，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，相交于点P.

　　求证：P在∠A的平分线上

　　证明：（略）

　　设想：（1）证明“点在线上”这类问题的解决方法

　　（2）“一般解题方法”的运用

　　（3）投影显示学生的书写步骤，检查学生数学语言是否规范。

　　例3、写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题

　　（1）全等三角形的对应角相等；

　　（2）对顶角相等；

　　（3）如果，那么；

　　（4）直角三角形的两个锐角互余.

　　例4、已知：如图3，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝PC，D是AP上一点

　　求证：∠BDP＝∠CDP

　　证明：（略）

　　设想：一般解题方法的教学。

　　6、课堂小结：教师引导学生总结

　　(1)角平分线的性质定理及逆定理；

　　(2)二定理的关系；

　　(3)一般解题方法

　　让学生自由表述，其它学生补充，自己将知识系统化，以自己的方式进行建构。

　　5、布置作业：

　　(a)书面作业P80＃9

　　(b)思考题：

　　(1)已知：如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC.

　　求证：∠A+∠C＝

　　（2）求证三角形的三条内角平分线交于一点。

　　板书设计：

　　探究活动

　　如图，公路南有一学校在铁路的东侧，到公路的距离与到铁路的距离相等，并且与两路交叉处O的距离为400米，在图上标出学校的位置，并说明理由（比例尺1：10000）。

　　提示：解决这类问题的方法是把实际应用问题转化为数学问题，然后用数学知识解决。

　　解：把公路、铁路看作两条相交直线，画出它们交，在上，从顶点量出表示实际400米长的线段便可确定学校的位置。表示实际400米长的线段为：0.04米＝4cm

角平分线教案9

　　教学目标

　　1．掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用．

　　2．理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题．

　　3．渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。

　　教学重点和难点

　　角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点．

　　性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点．

　　教学过程设计

　　一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明

　　1，复习引入课题．

　　（1）提问关于直角三角形全等的判定定理．

　　（2）让学生用量角器画出图3－86中的∠AOB的角

　　平分线OC．

　　2．画图探索角平分线的性质并证明之．

　　（1）在图3－86中，让学生在角平分线OC上任取一

　　点P，并分别作出表示Ｐ点到∠AOB两边的距离的线段

　　PD，PE．

　　（2）这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知识进行证明，得出定理．

　　（3）引导学生叙述角平分线的性质定理（定理1），分析定理的条件、结论，并根据相应图形写出表达式．

　　3．逆向思维探求角平分线的判定定理．

　　（1）让学生将定理1的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立？如何证明？请一位同学叙述证明过程，得出定理2——角平分线的判定定理．

　　（2）教师随后强调定理1与定理2的区别：已知角平分线用性质为定理1，由所给条件判定出角平分线是定理2．

　　（3）教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程．

　　4．理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合．

　　（1）角平分线上任意一点（运动显示）到角的两边的距离都相等（渗透集合的纯粹性）．

　　（2）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的'平分线上（而不在其它位置，渗透集合的完备性）．

　　由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合．

　　二、应用举例、变式练习

　　练习1填空：如图3－86（1）∵OC平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D

　　PE⊥OB于E．∴—————————（角平分线的性质定理）．

　　（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，——————————∴ OP平分∠AOB（—————————————）

　　例1已知：如图3－87（a）， ABC的角平分线BD和CE交于F．

　　（l）求证：F到AB，BC和 AC边的距离相等；

　　（2）求证：AF平分∠BAC；

　　（3）求证：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等；

　　（4）怎样找△ABC内到三边距离相等的点？

　　（5）若将“两内角平分线BD，CE交于F”改为“△ABC的两个外角平分线BD，CE交于F，如图3—87（b），那么（1）～（3）题的结论是否会改变？怎样找△ABC外到三边所在直线距离相等的点？共有多少个？

　　说明：

　　（1）通过此题达到巩固角平分线的性质定理（第（1）题）和判定定理（第（2）题）的目的．

　　（2）此题提供了证明“三线共点”的一种常用方法：先确定两条直线交于某一点，再证明这点在第三条直线上。

　　（3）引导学生对题目的条件进行类比联想（第（5）题），观察结论如何变化，培养发散思维能力．

　　练习2已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三边的距离相等．

　　练习 3已知：如图 3－88，在四边形 ABCD中， AB＝AD， AB⊥BC，AD⊥DC．求证：点 C在∠DAB的平分线上．

　　例2已知：如图 3－ 89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于 C，ED⊥OB于 D．求证：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD．

　　分析：证明第（1）题时，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分线的性质定理得到 OC＝OD．这样处理，可避免证明两个三角形全等．

　　练习4 课本第54页的练习。

　　说明：训练学生将生活语言翻译成数学语言的能力．

　　三、互逆命题，互逆定理的定义及应用

　　1．互逆命题、互逆定理的定义．

　　教师引导学生分析角平分线的性质，判定定理的题设、结论，使学生看到这两个命题的题设和结论正好相反，得出互逆命题、互逆定理的定义，并举出学过的互逆命题、互逆定理的例子．教师强调“互逆命题”是两个命题之间的关系，其中任何一个做为原命题，那么另一个就是它的逆命题．

　　2．会找一个命题的逆命题，并判定它是真、假命题．

　　例3写出下列命题的逆命题，并判断（1）～（5）中原命题和它的逆命题是真命题还是假命题：

　　（1）两直线平行，同位角相等；

　　（2）直角三角形的两锐角互余；

　　（3）对顶角相等；

　　（4）全等三角形的对应角相等；

　　（5）如果|x|＝|y|，那么x＝y；

　　（6）等腰三角形的两个底角相等；

　　（7）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．

　　说明：注意逆命题语言的准确描述，例如第（6）题的逆命题不能说成是“两底角相等的三角形是等腰三角形”．

　　3．理解互逆命题、互逆定理的有关结论．

　　例4 判断下列命题是否正确：

　　（1）错误的命题没有逆命题；

　　（2）每个命题都有逆命题；

　　（3）一个真命题的逆命题一定是正确的；

　　（4）一个假命题的逆命题一定是错误的；

　　（5）每一个定理都一定有逆定理．

　　通过此题使学生理解互逆命题的真假性关系及互逆定理的定义．

　　四、师生共同小结

　　1．角平分线的性质定理与判定定理的条件内容分别是什么？

　　2．三角形的角平分线有什么性质？怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？

　　3．怎样找一个命题的逆命题？原命题与逆命题是否同真、同假？

　　五、作业

　　课本第55页第3，5，6，7，8，9题．

　　课堂教学设计说明

　　本教学设计需2课时完成．

　　角平分线是符合某种条件的动点的集合，因此，利用教具，投影或计算机演示动点运动的过程和规律，更能展示知识的形成过程，有利于学生自己观察，探索新知识，从中提高兴趣，以充分培养能力，发挥学生学习的主动性．

角平分线教案10

　　一、教学目标：

　　（一）掌握的知识与技能：

　　1、经历折纸。画图等操作过程认识三角形的高。中线。角平分线，结合图形，会用几何语言表述。

　　2、会用工具准确地画出三角形的高。中线与角平分线。

　　（二）经历的教学思考：

　　经历折纸、画图、观察、思考、交流等活动，发展空间观念和表达能力

　　（三）培养的情感态度和价值观：

　　通过数学活动，让学生体验和理解三角形中的特殊线段，结合图形认识三角形的高。中线。角平分线所揭示的数量关系，学会发现问题，解决问题。

　　二、教学重难点：

　　1、重点：（1）了解三角形的高、中线。角平分线的`概念，会用工具准确画出三角形高。中线。角平分线。

　　（2）了解三角形的三条高，三条中线与三条角平分线分别交于一点。

　　2、难点：（1）三角形平分线与角平分线的区别，三角形的高与垂线的区别。

　　（2）钝角三角形高的画法。

　　（3）不同的三角形三条高的位置关系。

　　三、教学方法：

　　自主探究，合作交流

　　四、教学工具：

　　三角形纸片，三角板，直尺

　　五、教学过程：

　　1、各组组长检查预习作业完成情况。

　　2、师生问好。

　　3、情境导入：【大屏幕显示】白雪公主有一块三角形的煎饼，她打算把煎饼分成面积相等的七块给小矮人，想了很久也不知道怎么分，你能帮助她吗？

　　4、展示本课学习目标【大屏幕显示】

　　5、学生自学课本p65—66内容后，完成导学案。（小组共同完成，组长组织）教师巡视全班。（导学案附后）

　　6、通过题目检查学生自学情况。【大屏幕显示】（学生抢答）

　　7、将学生在自学过程中的疑难问题适当加以点拨。

　　8、学生完成课堂练习，完成后交给组长评分。（课堂练习附后）

　　9、共同完成拓展练习。

　　10、共同完成课前设疑的问题。现在你能帮助白雪公主了吗？

　　11、课堂小结：由学生总结，互相补充。

　　12、布置课下作业。

　　【导学案和课堂练习题附后】

角平分线教案11

　　【教学目标】

　　知识目标：

　　1、使学生知道三角形的角平分线和中线的定义，并能熟练地画出这两种线段

　　2、能应用三角形的角平分线和中线的性质解决简单的数学问题

　　能力目标：培养学生形成观察辨别、全面分析、归纳概括等数学方法，培养学生的思维方法和良好的思维品质。

　　情感目标：通过提问、讨论等多种教学活动，树立自信、自强、自主感，激发学习数学的兴趣，增强学好数学的信心。

　　【教学重点、难点】

　　教学重点、难点：三角形的角平分线、中线的定义及画图是本节课的重点，利用三角形的角平分线和中线的性质解决有关的计算问题是本节难点。

　　【教学过程】

　　一、创设情景，引入新课

　　1、让每个学生拿一张三角形纸片，把其中一个内角对折一次，使角的两边重合，得到一条折痕。（问学生折痕是什么形状？）

　　2、请每位学生用量角器量一量被折痕分割的二个角的大小，得到什么结论？（得到折痕平分这个内角）

　　引出概念：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。（让学生理解三角形的角平分线的形状是线段）

　　一、合作交流，探讨结论

　　请同学回答下面的问题

　　在一个三角形中有几条角平分线？请每位同学在不同类型的三角形中画一画，与同伴交流你发现了什么？

　　在此过程中，教师可以用几何画板制作的动画演示，在锐角三角形、钝角三角形、直角三角形中三条角平分线的特点。（三条线都在三角形的内部，三条线相交于一点）

　　任意画一个ABC，用刻度尺画BC的中点D，连结A D

　　引出概念：在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。（让学的中线的形状也是线段生理解三角形）

　　请同学回答问题：在一个三角形中有几条中线？请每位同学在不同类型的三角形中画一画，与同伴交流你发现了什么？

　　在此过程中，教师可以用几何画板制作的'动画演示，在锐角三角形、钝角三角形、直角三角形中三条中线的特点。（三条线都在三角形的内部，三条线相交于一点）

　　三角形的角平分线、中线用几何语言表达方式：如图在？ABC中，∠BAD=∠CAD，AD是？ABC的角平分线；在？ABC中，D是BC的中点（或B D= DC），AD是？ABC中BC边上的中线。

　　三、应用概念，解决问题

　　范例1如图AE是？ABC的角平分线，已知∠B=450 ∠C=600

　　求下列角的大小∠BAE；∠AEB

　　首先让学生仔细观察图形，分析已知条件，教师作好引导

　　四、巩固练习

　　请学生课内练习1、2教师分析总结

　　五、拓展与应用

　　让学生在熟悉概念的基础上，做更灵活的计算与应用

　　1、在ABC中，角平分线B D与C E交于点F，已知∠A=550求∠EFD的度数

　　2、在ABC中，A D是BC边上的中线，已知AB=7AC=5，求？AB D和？AC D的周长的差

　　六、学生总结

　　让学生回顾本节课的主要内容

　　七、作业布置

　　课后请同学做好书本中的作业1——4。

角平分线教案12

　　教学目标

　　1.了解角平分线的性质，并运用其解决一些实际问题。

　　2.经历操作，推理等活动，探索角平分线的性质，发展空间观念，在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达。

　　教材分析

　　重点：角平分线性质的探索。

　　难点：角平分线性质的应用。

　　教学方法：

　　预学----探究----精导----提升

　　教学过程

　　一创设问题情境，预学角平分线的性质

　　阅读课本P128-P129，并完成预学检测。

　　二合作探究

　　如图，OC为∠AOB的角平分线,P为OC上任意一点。

　　提问：

　　1.如何画出∠AOB的平分线?

　　2.若点P到角两边的距离分别为PD,PE，量一量，PD,PC是否相等?你能说明为什么吗?

　　让学生活动起来，通过测量，比较，得出结论。

　　教师鼓励学生大胆猜测，肯定它们的发现。

　　归纳：角平分线上任意一点到角两边的距离相等。

　　三想一想，巩固角平分线的性质

　　三条公路两两相交，为更好的使公路得到维护，决定在三角区建立一个公路维护站，那么这个维护站应该建在哪里?才能使维护站到三条公路的距离都相等?

　　三做一做，拓展课题

　　如图，P为△ABC的.外角平分线上一点，且PE⊥AB,PD⊥AC，E,D分别是垂足，试探索BE与PB+PD的大小关系。

　　让学生充分讨论，鼓励学生自主完成。

　　教师归纳：

　　因为射线AP是△ABC的外角∠CAE平分线，

　　所以PD=PE(角平分线上的点到角两边的距离相等)

　　所以PB+PD=PB+PE

　　又PB+PE>BE(三角形两边之和大于第三边)

　　所以PB+PD>BE

　　思考：若CP也平分△ABC中的∠ACB的外角，则射线BP有怎样的性质?点P又有怎样的位置?

　　四课堂练习

　　课本P130练习

　　五小结

　　本节课学习了角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等，反过来，到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上，三角形的三条角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。

　　六作业

　　1.课本P130习题A组T1,T2

　　2.基础训练同步练习。

　　3.选作拓展题。

　　七课后反思：

　　新旧教法对比：新教法更有利于培养学生合作学习的能力。

　　学生对于角平分线的性质可以倒背如流，但就是容易把到角两边的距离看错，在以后的教学中要多加强对距离的认识。

　　学案

　　学习目标：

　　1了解角平分线的性质。

　　2并运用角平分线的性质解决一些实际问题。

　　预学检测：

　　1角平分线上任意一点到相等。

　　2⑴如图，已知∠1=∠2，DE⊥AB，

　　DF⊥AC，垂足分别为E、F，则DE____DF.

　　⑵已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别

　　为E、F，且DE=DF，则∠1_____∠2.

　　学点训练：

　　1.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D.下列结论中错误的是()

　　A.PC=PDB.OC=OD

　　C.∠CPO=∠DPOD.OC=PC

　　2.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，

　　AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，

　　若AC=10cm，则△DBE的周长等于()

　　A.10cmB.8cmC.6cmD.9cm

　　巩固练习：

　　已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，

　　BD平分∠ABC.求证：BC=AB+AD

　　拓展提升：

　　如图，P为△ABC的外角平分线上一点，且PE⊥AB,PD⊥AC，E,D分别是垂足，试探索BE与PB+PD的大小关系。

角平分线教案13

　　一、教学目标

　　1、了解推理。证明的格式，掌握平行线判定公理和第一个判定定理。

　　2、会用判定公理及第一个判定定理进行简单的推理论证。

　　3、通过模型演示，即“运动—变化”的数学思想方法的运用，培养学生的“观察—分析”和“归纳—总结”的能力。

　　二、学法引导

　　1、教师教法：启发式引导发现法。

　　2、学生学法：独立思考，主动发现。

　　三、重点、难点及解决办法

　　（一）重点

　　在观察实验的基础上进行公理的概括与定理的推导。

　　（二）难点

　　判定定理的形成过程中逻辑推理及书写格式。

　　（三）解决办法

　　1、通过观察实验，巧妙设问，解决重点。

　　2、通过引导正确思维，严格展示推理书写格式，明确方法来解决难点、疑点。

　　四、课时安排

　　l课时

　　五、教具学具准备

　　三角板、投影胶片、投影仪、计算机。

　　六、师生互动活动设计

　　1。通过两组题，复习旧知，引入新知。

　　2。通过实验观察，引导思维，概括出公理及定理的推导，并以练习进行巩固。

　　3。通过教师提问，学生回答完成归纳小结。

　　七、教学步骤

　　（—）明确目标

　　掌握平行线判定公理和第一个判定定理及运用其进行简单的推理论证。

　　（二）整体感知

　　以情境设计，引出课题，以模型演示，引导学生观察、分析。总结，讲授新知，以变式训练巩固新知，在整节课中，较充分地体现了逻辑推理。

　　（三）教学过程

　　创设情境，引出课题

　　师：上节课我们学习了平行线。平行公理及推论，请同学们判断下列语句是否正确，并说明理由（出示投影）。

　　1、两条直线不相交，就叫平行线。

　　2、与一条直线平行的直线只有一条。

　　3、如果直线。都和平行，那么。就平行。

　　学生活动：学生口答上述三个问题。

　　【教法说明】通过三个判断题，使学生回顾上节所学知识，第1题在于强化平行线定义的前提条件“在同一平面内”，第2题不仅回顾平行公理，同时使学生认识学习几何，语言一定要准确。规范，同一问题在不同条件下，就有不同的结论，第3题复习巩固平行公理推论的同时提示学生，它也是判定两条直线平行的方法。

　　师：测得两条直线相交，所成角中的一个是直角，能判定这两条直线垂直吗？根据什么？

　　学生：能判定垂直，根据垂直的定义。

　　师：在同一平面内不相交的两条直线是平行线，你有办法测定两条直线是平行线吗？

　　学生活动：学生思考，如何测定两条直线是否平行？

　　教师在学生思考未得结论的情况下，指出不能直接利用手行线的定义来测定两条直线是否平行，必须找其他可以测定的方法，有什么方法呢？

　　学生活动：学生思考，在前面复习好平行公理推论的情况下，有的学生会提出，再作一条直线，让，再看是否平行于就可以了。

　　师：这种想法很好，那么，如何作，使它与平行？若作出后，又如何判断是否与平行？

　　学生活动：学生思考老师的提问，意识到刚才的回答，似是而非，不能解决问题。

　　师：显然，我们的问题没有得到解决，为此我们来寻找另外一些判定方法，就是今天我们要学习的（板书课题）。

　　[板书]2.5（1）

　　【教法说明】由垂线定义可以来判断两线是否垂直，学生自然想到要用平行线定义来判断，但我们无法测定直线是否不相交，也就不能利用定义来判断。这时，学生会考虑平行公理推论，此时教师只须简单地追问，就让学生弄清问题未能解决，由此引入新课内容。

　　探究新知，讲授新课

　　教师给出像课本第78页图2–20那样的两条直线被第三条直线所截的模型，转动，让学生观察，转动到不同位置时，的大小有无变化，再让从小变大，说出直线与的位置关系变化规律。

　　【教法说明】让学生充分观察，在教师的启发式提问下，分析、思考。总结出结论。

　　图1

　　学生活动：转动到不同位置时，也随着变化，当从小变大时，直线从原来在右边与直线相交，变到在左边与相交。

　　师：在这个过程中，存在一个与不相交即与平行的位置，那么多大时，直线呢？也就是说，我们若判定两条直线平行，需要找角的关系。

　　师：下面先请同学们回忆平行线的画法，过直线外一点画的平行线。

　　学生活动：学生在练习本上完成，教师在黑板上演示（见图1）。

　　师：由刚才的演示，请同学们考虑，画平行线的过程，实际上是保证了什么？

　　图2

　　学生：保证了两个同位角相等。

　　师：由此你能得到什么猜想？

　　学生：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两条直线平行。

　　师：我们的猜想正确吗？会不会有某一特定的时刻，即使同位角不等，而两条直线也平行呢？

　　教师用计算机演示运动变化过程。在观察实验之前，让学生看清角和角（如图2），而后开始实验，让学生充分观察并讨论能得出什么结论。

　　学生活动：学生观察。讨论。分析。

　　总结了，当时，不平行，而无论取何值，只要，就平行。

　　图3

　　教师引导学生自己表达出结论，并告诉学生这个结论称为公理。

　　[板书]两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

　　简单说成：同位角相等，两直线平行。

　　即：∵（已知见图3），

　　∴（同位角相等，两直线平行）。

　　【教法说明】通过实际画图和用计算机演示运动—变化过程，让学生确信公理的正确。尝试反馈，巩固练习（出示投影）。

　　图4

　　1、如图4吗？

　　2、当时，就能使。

　　【教法说明】这两个题目旨在巩固所学的判定公理，对于第2题是已知结论，找出使它成立的题设，这是证明问题时应掌握的'一种思考方法，要求学生逐步学会执因导果和执果索因的思考方法，教师在教学时要注意逐渐培养学生的这种数学思想。

　　（出示投影）

　　直线。被直线所截。

　　图5

　　1、见图5，如果，那么与有什么关系？

　　2、与有什么关系？

　　3、与是什么位置关系的一对角？

　　学生活动：学生观察，思考分析，给出答案：时，与相等，与是内错角。

　　师：与满足什么条件，可以得到？为什么？

　　学生活动：因为，通过等量代换可以得到。

　　师：时，你进而可以得到什么结论？

　　学生活动：

　　师：由此你能总结出什么正确结论？

　　学生活动：内错角相等，两直线平行。

　　师：也就是说，我们得到了判定两直线平行的另一个方法：

　　[板书]两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

　　简单说成：内错角相等，两直线平行。

　　【教法说明】通过教师的启发。引导式提问法，引导学生自己去发现角之间的关系，进而归纳总结出结论，主要采用探讨问题的方式，能够培养学生积极思考。善于动脑分析的良好学习习惯。

　　师：上面的推理过程，可以写成

　　∵（已知），

　　（对顶角相等），

　　∴

　　[∵（已证）]，

　　∴（同位角相等，两直线平行）。

　　【教法说明】这里的推理过程可以放手让学生试着说，这样才能使中国学习联盟胆尝试，培养他们勇于进取的精神。

　　教师指出：方括号内的“∵ ”，就是上面刚刚得到的“∴ ”，在这种情况下，方括号内这一步可以省略。

　　尝试反馈，巩固练习（出示投影）

　　1、如图1，直线。被直线所截。

　　（1）量得，，就可以判定，它的根据是什么？

　　（2）量得，，就可以判定，它的根据是什么？

　　2、如图2，是的延长线，量得。

　　（1）从，可以判定哪两条直线平行？它的根据是什么？

　　（2）从，可以判定哪两条直线平行？它的根据是什么？

　　图1图2

　　学生活动：学生口答。

　　【教法说明】这组题旨在巩固公理和判定方法的掌握，使学生熟悉并会用于解决简单的说理问题。

　　变式训练，培养能力

　　（出示投影）

　　1、如图3所示，由，可判断哪两条直线平行？由，可判断哪两条直线平行？

　　2、如图4，已知，，吗？为什么？

　　图3图4

　　学生活动：学生思考后回答问题。教师给以指正并启发。引导得出答案。

　　【教法说明】这组题不仅让学生认识变式图形，加强识图能力，同时培养学生的发散思维，也就是培养学生从多角度。全方位考虑问题，从而得到一题多解。提高了学生的解题能力。

　　（四）总结扩展

　　2、结合判一定理的证明过程，熟悉表达推理证明的要求，初步了解推理证明的格式。

　　八。布置作业

　　课本第97页习题2。2A组第4.5.6（1）（2）题。

角平分线教案14

　　教学目标

　　1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理．

　　2．会用尺规作一个已知角的平分线．

　　教学重点

　　利用尺规作已知角的平分线．

　　教学难点

　　角的平分线的作图方法的提炼．

　　教学过程

　　Ⅰ．提出问题，创设情境

　　问题1：三角形中有哪些重要线段．

　　问题2：你能作出这些线段吗？

　　Ⅱ．导入新课

　　在学直角三角形全等的'条件时有这样一个题：

　　在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC交于C点．

　　求证：∠MOC=∠NOC．

　　通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，所以射线OC就是∠AOB的平分线．

　　受这个题的启示，我们能不能这样做：

　　在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC与NC交于C点，连接OC，那么OC就是∠AOB的平分线了．

　　思考：这个方案可行吗？（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行）

　　议一议：图中是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？

　　要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．

　　∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．

　　看看条件够不够．所以△ABC≌△ADC（SSS）

角平分线教案15

　　一、教学背景

　　1、教学内容分析

　　(1) 地位和作用：学生已学习了角的平分线，线段的中点，垂线和三角形的有关概念及边的性质等，本节课在此基础上进一步认识三角形。为今后学习三角形的内切圆及三心等知识埋下了伏笔。

　　(2) 重点：三角形的高线、角平分线、中线的概念，动手画、折三角形的三条高线、角平分线、中线自主发现它们分别交于一点。

　　难点：探究三角形的三条高线、角平分线、三条中线交于一点的过程及中线的应用。

　　2、教学目标：

　　(1)知识与技能目标：通过观察、画、折等实践操作、想像、推理、交流等过程，认识三角形的高线、角平分线、中线;会画出任意三角形的高线、角平分线、中线，通过画图、折纸了解三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线会交于一点。

　　(2)过程与方法目标：经历画、折等实践操作活动过程，发展学生的空间观念，推理能力及创新精神。学会用数学知识解决实际问题能力，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力。

　　(3)情感与态度目标：通过对问题的解决，使学生有成就感，培养学生的合作精神，树立学好数学的信心。

　　二、教学过程

　　1、回忆旧知，深化提高

　　(事先让学生准备三个三角形的纸片)

　　给出一个三角形ABC，请你回忆作出三角形ABC的高。

　　提问：(1)你用什么作出三角形的高?

　　(2)高有几条?

　　(3)你能用折纸的方法找出你准备好的三角形的高吗?

　　(4)你发现用折纸折出的高与你用三角板画出的高一致吗?

　　(4)你发现三角形的三条高有何特点?

　　请同学们拿出已准备好的其中一个三角形纸片，回答以上问题。

　　2、动手实践，探究新知

　　三角形的角平分线的教学

　　①事先在黑板上画一个三角形?ABC，问学生如何画一个角的平分线，比如画∠A的平分线?

　　学生大约估计到另外两个三角形纸片的作用，于是把问题一提出就要让学生能感知并有一种意识去动手实践，主动探究。我认为能做到这一点就是教学的成功所在。学生利用手上的三角形纸片边操作边与组内其他组员讨论。能引起争论，这是本节课的成功之处。因为这节课理论是可行的，但实际做起来却不一定行。比如，用量角器去画一个角的平分线就存在一个很大的测量误差等。

　　这样自然引入了三角形的角平分线概念。

　　并提问：

　　(1)三角形有几条角平分线?

　　(2)你发现三角形的三条角平分线有何特点?

　　设计意图：使学生通过画、折等实践操作活动理解三角形的角平分线概念，并培养学生动手操作能力，自主探索、合作交流，发现三角形的三条角平分线交于一点的规律，体现了知识的获得不是教师传授的，而是学生自己探索得到的。

　　三角形的中线的教学

　　在已画的'?ABC的∠A的角平分线AD的基础上提出问题：点D是否是BC的中点?那么什么是线段的中点呢?你有什么方法得到线段的中点呢?

　　设计意图：由三角形的角平分线自然过渡到三角形的中线，并为下面画三角形的中线作铺垫。这样学生也能自然想到通过折纸的方法马上能找到线段的中点。

　　再用类似三角形的角平分线、高线的研究方法来研究三角形的中线，三角形的中线是否也有类似的性质呢?

　　学生动手画、折三角形的中线，观察、猜想、验证。

　　并提问：

　　(1)三角形有几条中线?